Vẽ kỹ thuật
Vẽ kỹ thuật
Bài viết lách này Vted ra mắt cho tới độc giả lý thuyết và hạng của ma mãnh trận kèm cặp những ví dụ và phân loại những dạng toán kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên về hạng của ma mãnh trận:
Bạn đang xem: Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted
Xét ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}}.$ Đặt $A_i^d = ({a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{in}});A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {...} \\ {{a_{nj}}} \end{array}} \right).$ Hạng của ma mãnh trận $A$ là hạng của hệ véctơ dòng sản phẩm $\left\{ A_{1}^{d},A_{2}^{d},..,A_{m}^{d} \right\}$ và cũng đó là hạng của hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}.$ Được kí hiệu là $r(A).$
Xét ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}}.$ Chọn rời khỏi $s$ dòng sản phẩm kí hiệu là ${{i}_{1}},{{i}_{2}},...,{{i}_{s}}$ với ${{i}_{1}}<{{i}_{2}}<...<{{i}_{s}}$ và lựa chọn ra $s$ cột kí hiệu là ${{j}_{1}},{{j}_{2}},...,{{j}_{s}}$ với ${{j}_{1}}<{{j}_{2}}<...<{{j}_{s}}$ và xoá lên đường toàn bộ những dòng sản phẩm, những cột còn sót lại (nếu có) tớ được một ma mãnh trận vuông cấp cho $s.$ Định thức của ma mãnh trận này được gọi là quyết định thức con cái cấp cho $s$ của ma mãnh trận $A,$ được kí hiệu là $D_{{{i}_{1}}{{i}_{2}}...{{i}_{s}}}^{{{j}_{1}}{{j}_{2}}...{{j}_{s}}}.$
Một ma mãnh trận cấp cho $m\times n$ đem toàn bộ $C_{m}^{s}C_{n}^{s}$ quyết định thức con cái cấp cho $s.$
Nếu quyết định thức con cái cấp cho $s$ không giống 0 và từng quyết định thức con cái cấp cho cao hơn nữa $s$ đều bởi 0 thì hạng của ma mãnh trận bởi $s.$
Biến thay đổi ma mãnh trận về hình trạng thang \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{...}&{{b_{1r}}}&{...}&{{b_{1n}}} \\ 0&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2r}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{{b_{rr}}}&{...}&{{b_{rn}}} \\ 0&0&{...}&0&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&0&{...}&0 \end{array}} \right).\]
Trong cơ ${{b}_{ii}}\ne 0,i=1,...,r$ Khi cơ $r(A)=r.$
Chỉ rời khỏi một quyết định thức con cái cấp cho s của ma mãnh trận không giống 0, tính toàn bộ những quyết định thức con cái cấp cho s + 1 xung quanh quyết định thức con cái cấp cho s, nếu như toàn bộ những quyết định thức con cái cấp cho s + 1 này bởi 0 thì hạng của ma mãnh trận bởi s, ngược lại nếu như mang 1 quyết định thức con cái cấp cho s + 1 không giống 0, tính toàn bộ những quyết định thức con cái cấp cho s + 2 xung quanh quyết định thức con cái cấp cho s + 1…
a) $r(A)=r({A}');$
b) Nếu $A$ là một trong những ma mãnh trận vuông cấp cho $n$ Khi cơ $r(A)=n\Leftrightarrow \det (A)\ne 0,$ phụ thuộc vào đặc thù này tất cả chúng ta rất có thể sử dụng quyết định thức nhằm dò xét hoặc biện luận hạng của một ma mãnh trận vuông;
c) Nếu $A$ là một trong những ma mãnh trận vuông cấp cho $n$ Khi cơ hệ véctơ dòng sản phẩm (hệ véctơ cột) của ma mãnh trận $A$ song lập tuyến tính Khi và chỉ Khi $r(A)=n.$
Câu 1: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right).$
Giải. Ta có:
$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - 2{d_1} + {d_2} \\ - 3{d_1} + {d_3} \\ - 2{d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&2&3&{ - 7}&5 \\ 0&3&{ - 2}&{ - 4}&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy $r(A)=3.$
Câu 2: Cho $x,y,z$ là tía nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-2019t+4=0,$ dò xét hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right).$
Giải. Theo vi – ét đem $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và \[\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + nó + z}&{x + nó + z}&{x + nó + z} \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right|({d_1} + {d_2} + {d_3}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = 0.\]
Do cơ $r(A)\le 2.$ Mặt không giống $D_{12}^{12}=xz-{{y}^{2}}\Rightarrow yD_{12}^{12}=xyz-{{y}^{3}}=-4-{{y}^{3}}=-2019y\Rightarrow D_{12}^{12}=-2019\ne 0.$
Vậy $r(A)\ge 2\Rightarrow r(A)=2.$
Câu 3: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right).$
Giải. Ta có:
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {d_1} + {d_3} \\ - {d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&3&5 \\ 0&6&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - {d_2} + {d_3} \\ - 2{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&0&6 \\ 0&0&6 \end{array}} \right)\xrightarrow{{}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&0&6 \end{array}} \right).\]
Vậy $r(A)=3.$
Câu 4: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right)$ bởi cách thức quyết định thức xung quanh.
Giải. Có $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ { - 1}&3 \end{array}} \right| = 5 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&3&0 \\ 2&4&1 \end{array}} \right| = - 25 \ne 0;$
Kiểm tra những quyết định thức cấp cho 4 xung quanh quyết định thức $D_{123}^{123}$ có
$D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \end{array}} \right| = 0;D_{1235}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$
Câu 5: Tìm hạng của ma mãnh trận \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right)\] bởi cách thức quyết định thức xung quanh.
Giải. Có \[D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 0&2 \end{array}} \right| = 2 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2 \\ 0&2&1 \\ 0&0&3 \end{array}} \right| = 6 \ne 0;D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3 \\ 0&2&1&2 \\ 0&0&3&3 \\ 0&0&0&4 \end{array}} \right| = 24 \ne 0.\]
Ta xét những quyết định thức cấp cho 5 xung quanh quyết định thức cấp cho 4 trên
\[D_{12345}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \end{array}} \right| = 0;D_{12346}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right| = 0.\] Vậy $r(A)=4.$
Câu 6:Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right).$
Giải. Ta có
\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right)\xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 1,2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 1&1&1&{...}&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 0&0&0&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&0 \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \]
Câu 7: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3&0 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1}&4 \\ 3&1&3&1&5 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1&{ - 10} \end{array}} \right).$
Giải. Có $D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1} \\ 3&1&3&1 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = 45 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 4.$
Câu 8: Tìm hạng của ma mãnh trận sau $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right).$
Giải. Có chuyển đổi ma mãnh trận:
\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{i + 1}}}}{\mathbf{,i = 1,2,...,n - 1}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&1&1 \\ {n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{,i = 3,...,n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&0&0 \\ {n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&0&0 \end{array}} \right) \Rightarrow rank(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \]
>>Xem tăng những đọc thêm cho tới hệ phương trình tuyến tính
Tìm hạng của những ma mãnh trận sau:
a) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&1 \\ 1&{ - 1}&{ - 3} \\ 1&1&1 \end{array}} \right);$ |
b) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&{ - 1}&4 \\ 3&{ - 4}&2&{ - 1} \\ { - 1}&7&{ - 2}&{ - 8} \\ 4&6&{ - 1}&{ - 5} \end{array}} \right);$ |
c) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&3&2&5 \\ 5&{ - 3}&2&3&4 \\ 1&{ - 3}&{ - 5}&0&{ - 7} \\ 7&{ - 5}&1&4&1 \end{array}} \right);$ | d) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&5&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&{ - 3}&4 \\ 5&1&{ - 1}&7 \\ 7&7&9&1 \end{array}} \right);$ |
e) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25}&{31}&{17}&{43} \\ {75}&{94}&{53}&{132} \\ {75}&{94}&{54}&{134} \\ {25}&{32}&{20}&{48} \end{array}} \right);$ | f) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&{ - 5}&2&3 \\ 8&6&{ - 7}&4&2 \\ 4&3&{ - 8}&2&7 \\ 4&3&1&2&{ - 5} \\ 8&6&{ - 1}&4&{ - 6} \end{array}} \right).$ |
Ví dụ 1: Tìm $m$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&{ - 1}\\ 2&{m + 4}&{ - 2}&{ - 1}\\ 3&{m + 6}&{ - 3}&{m - 3} \end{array}} \right)$ có hạng nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&{ - 1}&3\\ 2&m&1&2\\ 3&1&2&0 \end{array}} \right)$ có hạng nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma mãnh trận sau nhỏ nhất, với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4&1\\ a&2&3&1\\ 3&{ - 1}&1&0\\ 3&3&7&2 \end{array}} \right).$
Ví dụ 4: Cho ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ m&1&2&{ - 1}\\ 3&1&{ - 4}&2 \end{array}} \right).$ Chứng minh rằng với từng $m$ thì $r(A)=3.$
Giải. Có $D_{123}^{234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&4&2 \end{array}} \right| = 15 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 3,\forall m.$
Ví dụ 5: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&2\\ { - 1}&2&3&4\\ { - 1}&9&{10}&m \end{array}} \right).$
Ví dụ 6: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&{ - 1}&2\\ 2&{ - 1}&m&5\\ 1&{10}&{ - 6}&1 \end{array}} \right).$
Ví dụ 7: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m&3\\ { - 1}&2&1&4\\ 4&3&2&1\\ { - 3}&4&1&2 \end{array}} \right).$
Ví dụ 8: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {7 - m}&{ - 12}&6\\ {10}&{ - 19 - m}&{10}\\ {12}&{ - 24}&{13 - m} \end{array}} \right).$
Ví dụ 9: Biện luận hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 2&m&{ - 1}&2&1 \\ 1&1&{ - 1}&m&{ - 1} \\ 2&3&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right).$
Giải. Biến thay đổi ma mãnh trận $A$
\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 2&m&{ - 1}&2&1 \\ 1&1&{ - 1}&m&{ - 1} \\ 2&3&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 0&{m + 2}&1&0&3 \\ 0&2&0&{m - 1}&0 \\ 0&5&1&0&3 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 0&5&1&0&3 \\ 0&2&0&{m - 1}&0 \\ 0&{m + 2}&1&0&3 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}\dfrac{{\mathbf{2}}}{{\mathbf{5}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}\dfrac{{{\mathbf{m + 2}}}}{{\mathbf{5}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 0&5&1&0&3 \\ 0&0&{ - \dfrac{2}{5}}&{m - 1}&{ - \dfrac{6}{5}} \\ 0&0&0&{\dfrac{{3 - m}}{5}}&{\dfrac{{3\left( {3 - m} \right)}}{5}} \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]
+ Nếu $m=3\Rightarrow r\left( A \right)=3$
+ Nếu $m\ne 3\Rightarrow r\left( A \right)=4$
Ví dụ 10: Tìm $m$ nhằm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ { - 1}&1&3&{ - 1}\\ 1&{ - 1}&7&m \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.
Ví dụ 11: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right).$
Giải. Có
$\begin{array}{l} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 6}&2&2&2\\ {m + 6}&m&2&2\\ {m + 6}&2&m&2\\ {m + 6}&2&2&m \end{array}} \right|({c_4} + {c_3} + {c_2} + {c_1})\\ = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 1&m&2&2\\ 1&2&m&2\\ 1&2&2&m \end{array}} \right| = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 0&{m - 2}&0&0\\ 0&0&{m - 2}&0\\ 0&0&0&{m - 2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} { - d1 + {d_2}}\\ { - {d_1} + {d_3}}\\ { - {d_1} + {d_4}} \end{array} = {(m - 2)^3}(m + 6). \end{array}$
Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1}\\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4}\\ 1&{4 - m}&{m - 1}&{2m - 4} \end{array}} \right)$ đem hạng bởi 2.
Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{2 - a}&4&{{a^2}}\\ 1&{1 - a}&2&0\\ 3&{3 - 2a}&{8 - a}&4 \end{array}} \right)$ đem hạng bé nhỏ nhất.
Xem thêm: Tỷ giá baht Thái Lan mới nhất ngày hôm nay 18/4
Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&m&0&3\\ m&2&1&2\\ 2&1&{ - 2}&2 \end{array}} \right)$ lớn số 1.
Ví dụ 15: Tìm $a,b,c$ nhằm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 2&3&{ - 1}&{2b}&{ - a}&{b - 2} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.
Giải. Ta có:
$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 2&3&{ - 1}&{2b}&{ - a}&{b - 2} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 0&7&{ - 1}&{ - 2a - 2 + 2b}&{ - a - 2b}&{b - 2 + 2c} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 0&7&{ - 1}&{ - 2a - 2 + 2b}&{ - a - 2b}&{b - 2 + 2c} \\ 0&0&0&{ - 2a + 2b + c - 2}&{ - a - 2b + 2c - 1}&{2a + b + 2c - 2} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy $r{(A)_{\min }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2a + 2b + c - 2 = 0 \hfill \\ - a - 2b + 2c - 1 = 0 \hfill \\ 2a + b + 2c - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \dfrac{1}{9} \hfill \\ b = \dfrac{4}{9} \hfill \\ c = \dfrac{8}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Ví dụ 16: Cho những số thực dương $a,b$ thoả mãn $a+b>2$ và ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right).$ Biện luận theo đuổi $a,b$ hạng của ma mãnh trận $A.$
Giải. Đây là ma mãnh trận vuông vậy trước tiên tính quyết định thức của nó:
\[\begin{gathered} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + 2}&a&1&b \\ {a + b + 2}&1&b&1 \\ {a + b + 2}&b&1&a \\ {a + b + 2}&1&a&1 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 1&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ 1&1&a&1 \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 0&{1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ 0&{b - a}&0&{a - b} \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ {1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ 0&{a - b}&0 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \right) \\ = (a + b + 2)(a - b){( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{1 - b} \\ {b - a}&{a - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2){(a - b)^2}(a + b - 2). \\ \end{gathered} \]
Do $a+b>2\Rightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow a=b.$
+) Nếu $a\ne b\Rightarrow \det (A)\ne 0\Rightarrow r(A)=4.$
+) Nếu $a = b \Rightarrow a = b > 1 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \\ 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \end{array}} \right);D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ a&1 \end{array}} \right| = 1 - {a^2} < 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1 \\ a&1&a \\ 1&a&1 \end{array}} \right| = 0.$
Do cơ $r(A)=2.$
Ví dụ 17: Chứng minh rằng hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&{ - 1}&1 \\ m&{ - 1}&1&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&m&0&1&1 \\ 1&2&2&{ - 1}&1 \end{array}} \right)$ không phụ nằm trong vô thông số $m.$
Giải. Biến thay đổi ma mãnh trận $A$
\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&{ - 1}&1 \\ m&{ - 1}&1&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&m&0&1&1 \\ 1&2&2&{ - 1}&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&2 \\ { - 1}&{ - 1}&1&m&{ - 1} \\ 1&1&0&1&m \\ { - 1}&1&2&1&2 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&{ - 2}&0&{m + 1}&{ - 3} \\ 0&2&1&0&{m + 2} \\ 0&0&1&2&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&{ - 2}&0&{m + 1}&{ - 3} \\ 0&0&1&{m + 1}&{m - 1} \\ 0&0&1&2&0 \end{array}} \right) \Rightarrow r\left( A \right) = 4,\forall m \hfill \\ \end{gathered} \]
Ta đem điều cần minh chứng.
Ví dụ 18: Biện luận hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&{ - 1} \\ { - 3}&2&{a + 1}&3 \\ {2a + 1}&{ - 1}&0&1 \\ { - 2}&2&1&3 \end{array}} \right).$
Giải. Ta có:
\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&{ - 1} \\ { - 3}&2&{a + 1}&3 \\ {2a + 1}&{ - 1}&0&1 \\ { - 2}&2&1&3 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 3&2&{a + 1}&{ - 3} \\ 1&{ - 1}&0&{2a + 1} \\ 3&2&1&{ - 2} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 0&{ - 1}&{a + 1}&0 \\ 0&{ - 2}&0&{2a + 2} \\ 0&{ - 1}&1&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 0&{ - 1}&{a + 1}&0 \\ 0&0&{ - 2(a + 1)}&{2a + 2} \\ 0&0&{ - a}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{a}}{{\mathbf{d}}_3}{\mathbf{ - 2(a + 1)}}{{\mathbf{d}}_4}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 0&{ - 1}&{a + 1}&0 \\ 0&0&{ - 2(a + 1)}&{2a + 2} \\ 0&0&0&{2(a + 1)(a - 1)} \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = \left\{ \begin{gathered} 4{\text{ Khi }}a \ne \pm 1 \hfill \\ 3{\text{ Khi }}a = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} \]
Ví dụ 19: Biết rằng ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ { - 1}&{1 - ab}&{1 - {b^2}} \end{array}} \right)$ đem hạng bởi 2. Tính ${{(a+b)}^{2}}.$
Giải. Biến thay đổi ma mãnh trận đang được cho
$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ { - 1}&{1 - ab}&{1 - {b^2}} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ 0&{2 - {a^2} - ab}&{2 - ab - {b^2}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{(}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + ab - 2)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ 0&0&{4 - 2ab - {a^2} - {b^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy $r(A)=2\Leftrightarrow 4-2ab-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=4.$
Ví dụ 20: Cho những số thực dương $a,b$ thoả mãn $a+b>2$ và ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right).$ Biện luận theo đuổi $a,b$ hạng của ma mãnh trận $A.$
Đây là ma mãnh trận vuông vậy trước tiên tính quyết định thức của nó:
\[\begin{gathered} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + 2}&a&1&b \\ {a + b + 2}&1&b&1 \\ {a + b + 2}&b&1&a \\ {a + b + 2}&1&a&1 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 1&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ 1&1&a&1 \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 0&{1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ 0&{b - a}&0&{a - b} \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ {1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ 0&{a - b}&0 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \right) \\ = (a + b + 2)(a - b){( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{1 - b} \\ {b - a}&{a - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2){(a - b)^2}(a + b - 2). \\ \end{gathered} \]
Do $a+b>2\Rightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow a=b.$
+) Nếu $a\ne b\Rightarrow \det (A)\ne 0\Rightarrow r(A)=4.$
+) Nếu $a = b \Rightarrow a = b > 1 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \\ 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \end{array}} \right);D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ a&1 \end{array}} \right| = 1 - {a^2} < 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1 \\ a&1&a \\ 1&a&1 \end{array}} \right| = 0.$
Do cơ $r(A)=2.$
Định lí. Cho ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}},n\ge 2$ và ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A,$ Khi cơ tớ có:
Chứng minh coi bài xích giảng bên trên đây: https://framesi.com.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html
hoặc bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/dinh-li-ve-hang-cua-ma-tran-phu-hop-cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu/d82056f4-cd53-4877-b64b-ad797fc95185
Ví dụ 1: Cho ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&1 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right).$ Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A.$
Giải. Ta có:
$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&1 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ 1&2&m&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ 0&{ - 2}&{ - 1}&{ - 8} \\ 0&5&6&{13} \\ 0&4&{m + 1}&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ 0&{ - 2}&{ - 1}&{ - 8} \\ 0&0&7&{ - 14} \\ 0&0&{m - 1}&{ - 12} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - (m - 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + 7}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ 0&{ - 2}&{ - 1}&{ - 8} \\ 0&0&7&{ - 14} \\ 0&0&0&{14(m - 7)} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
+) Nếu $m\ne 7\Rightarrow r(A)=4\Rightarrow r({{A}^{*}})=4;$
+) Nếu $m=7\Rightarrow r(A)=3=4-1\Rightarrow r({{A}^{*}})=1.$
Ta dùng những đặc thù về hạng của ma mãnh trận sau đây:
Ví dụ 1: Cho ma mãnh trận $A$ vuông cấp cho $n$ thoả mãn ${{A}^{2}}=E.$ Chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma mãnh trện có:
$\begin{array}{l} r(E - A) + r(E + A) \ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\\ r(E - A) + r(E + A) \le r((E - A)(E + A)) + n = r({E^2} - {A^2}) + n = r(O) + n = n \end{array}$
Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Ví dụ 2: Cho ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ đem ${{a}_{ij}}=0,\forall i=j;{{a}_{ij}}\in \left\{ 1,2019 \right\},\forall i\ne j.$ Chứng minh rằng $r(A)\ge n-1.$
Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=1,\forall i,j=1,2,..,n$ Khi cơ $C=A-B={{({{a}_{ij}}-{{b}_{ij}})}_{n\times n}}={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}}$ với \[{{c}_{ij}}=-1,\forall i=j;{{c}_{ij}}\in \left\{ 0,2018 \right\},\forall i\ne j.\]
Do cơ $\det (C)-{{(-1)}^{n}}$ phân chia không còn mang đến 2018, tức $\det (C)\ne 0\Rightarrow r(C)=n.$
Mặt không giống $C=A-B\Rightarrow r(C)=r(A-B)\le r(A)+r(-B)=r(A)+1\Rightarrow r(A)\ge n-1.$
Ví dụ 3: Cho ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ đem ${{a}_{ij}}=i+j,\forall i,j=1,2,...,n.$ Tìm hạng của ma mãnh trận $A.$
Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=i,\forall i=1,2,...,n;C={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}},{{c}_{ij}}=j,\forall j=1,2,...,n.$
Giải. Ta đem $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+C\Rightarrow r(A)=r(B+C)\le r(B)+r(C)=2.$
Mặt không giống $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&4 \end{array}} \right| = - 1 \ne 0 \Rightarrow r(A) \ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$
Ví dụ 4: Cho nhì ma mãnh trận $A,B$ vuông nằm trong cấp cho sao mang đến ${{A}^{2}}=A,{{B}^{2}}=B$ và ma mãnh trận $E-A-B$ khả nghịch ngợm. Chứng minh rằng $r(A)=r(B).$
Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch ngợm nên $\left\{ \begin{gathered} r(A) = r(A(E - A - B)) = r(A - {A^2} - AB) = r( - AB) \hfill \\ r(B) = r((E - A - B)B) = r(B - AB - {B^2}) = r( - AB) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow r(A) = r(B).$
Ví dụ 5: Cho ma mãnh trận vuông $A$ thoả mãn ${{A}^{m}}=O.$ Chứng minh rằng với từng số nguyên vẹn dương $n$ tớ luôn luôn đem $r(A)=r(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}).$
Giải. Xét những phương trình $AX=O(1);(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}})X=O(2).$
Ta chỉ việc minh chứng (1) và (2) đem nằm trong luyện nghiệm, Khi cơ $r(A)=r(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}})=p-r$ vô cơ $p$ là cấp cho của ma mãnh trận $A;$ và $r$ là số chiều không khí nghiệm của nhì hệ phương trình.
+) Nếu $A{{X}_{0}}=O\Rightarrow (A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=A{{X}_{0}}+A(A{{X}_{0}})+...+{{A}^{n-1}}(A{{X}_{0}})=O.$
+) Nếu $(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=O\Rightarrow A{{X}_{0}}=-({{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=-{{A}^{2}}(E+A+...+{{A}^{n-2}}){{X}_{0}}={{A}^{2}}B{{X}_{0}},$ vô cơ $B=-(E+A+...+{{A}^{n-2}}),AB=BA.$
Suy rời khỏi \[A{{X}_{0}}={{A}^{2}}B{{X}_{0}}=A(AB){{X}_{0}}=A(BA){{X}_{0}}=AB({{A}^{2}}B{{X}_{0}})={{B}^{2}}{{A}^{2}}(A{{X}_{0}})=...{{B}^{k}}{{A}^{k}}(A{{X}_{0}})=O,k\ge m.\]
Ta đem điều cần minh chứng.
Ví dụ 6: Cho $A$ là ma mãnh trận thực cấp cho $4\times 2$ và $B$ là ma mãnh trận thực cấp cho $2\times 4$ thoả mãn $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&0 \\ 0&1&0&{ - 1} \\ { - 1}&0&1&0 \\ 0&{ - 1}&0&1 \end{array}} \right).$ Tìm ma mãnh trận $BA.$
Sinh viên những ngôi trường ĐH tại đây rất có thể học tập được bộ combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
Xem thêm: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|^2=2|z+z ngang|+4 và |z-1-i|=|z-3+3i| ? (Miễn phí)
và những ngôi trường ĐH, ngành tài chính của những ngôi trường ĐH không giống bên trên từng toàn nước...
Vẽ kỹ thuật
Nov là tháng mấy trong tiếng Anh, nguồn gốc từ này như thế nào? Cùng mình tìm hiểu qua bài viết sau nhé!
Hãy cùng Sforum tìm hiểu xem ứng dụng kép có gì đặc biệt và nó được mở như thế nào trên các thiết bị Xiaomi nhé. Theo dõi bài viết thôi nào!
Hóa hữu cơ là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Hóa học cấp 3. Marathon Education đã tổng hợp tất cả các lý thuyết về hóa hữu cơ qua bài viết sau.
Hướng dẫn cách cài mật khẩu điện thoại Samsung đơn giản, nhanh chóng, hiệu quả. Cùng theo dõi chi tết các bước tiến hành cài đặt mật khẩu ngay sau đây bạn nhé!