Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài viết lách này Vted ra mắt cho tới độc giả lý thuyết và hạng của ma mãnh trận kèm cặp những ví dụ và phân loại những dạng toán kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên về hạng của ma mãnh trận:

Bạn đang xem: Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

>>Xem thêm Tìm hạng của ma mãnh trận mang đến trước bởi phép tắc chuyển đổi Gauss và dùng quyết định thức xung quanh (định thức con cái chủ yếu cấp cho k của ma mãnh trận)

>>Xem thêm Các cách thức tính quyết định thức của ma mãnh trận

>> Độc lập tuyến tính và dựa vào tuyến tính

>>Định thức của ma mãnh trận và những đặc thù của quyết định thức

>> Chứng minh một ma mãnh trận suy trở thành và ma mãnh trận khả nghịch

>>Cơ sở của không khí véctơ

>> Đạo hàm cấp cho 1 và đạo hàm cấp cho 2 của hàm số mang đến bởi tham lam số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

>>Xem thêm Các dạng toán về ma mãnh trận nghịch ngợm hòn đảo và cách thức giải

Định nghĩa hạng của ma mãnh trận

Xét ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}}.$ Đặt $A_i^d = ({a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{in}});A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {...} \\ {{a_{nj}}} \end{array}} \right).$ Hạng của ma mãnh trận $A$ là hạng của hệ véctơ dòng sản phẩm $\left\{ A_{1}^{d},A_{2}^{d},..,A_{m}^{d} \right\}$ và cũng đó là hạng của hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}.$ Được kí hiệu là $r(A).$

Định thức con cái của ma mãnh trận và quan hệ với hạng của ma mãnh trận

Xét ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}}.$ Chọn rời khỏi $s$ dòng sản phẩm kí hiệu là ${{i}_{1}},{{i}_{2}},...,{{i}_{s}}$ với ${{i}_{1}}<{{i}_{2}}<...<{{i}_{s}}$ và lựa chọn ra $s$ cột kí hiệu là ${{j}_{1}},{{j}_{2}},...,{{j}_{s}}$ với ${{j}_{1}}<{{j}_{2}}<...<{{j}_{s}}$ và xoá lên đường toàn bộ những dòng sản phẩm, những cột còn sót lại (nếu có) tớ được một ma mãnh trận vuông cấp cho $s.$ Định thức của ma mãnh trận này được gọi là quyết định thức con cái cấp cho $s$ của ma mãnh trận $A,$ được kí hiệu là $D_{{{i}_{1}}{{i}_{2}}...{{i}_{s}}}^{{{j}_{1}}{{j}_{2}}...{{j}_{s}}}.$

Một ma mãnh trận cấp cho $m\times n$ đem toàn bộ $C_{m}^{s}C_{n}^{s}$ quyết định thức con cái cấp cho $s.$

Nếu quyết định thức con cái cấp cho $s$ không giống 0 và từng quyết định thức con cái cấp cho cao hơn nữa $s$ đều bởi 0 thì hạng của ma mãnh trận bởi $s.$

Tìm hạng của ma mãnh trận bởi phép tắc chuyển đổi sơ cấp

Biến thay đổi ma mãnh trận về hình trạng thang \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{...}&{{b_{1r}}}&{...}&{{b_{1n}}} \\ 0&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2r}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{{b_{rr}}}&{...}&{{b_{rn}}} \\ 0&0&{...}&0&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&0&{...}&0 \end{array}} \right).\]

Trong cơ ${{b}_{ii}}\ne 0,i=1,...,r$ Khi cơ $r(A)=r.$

Tìm hạng của ma mãnh trận bởi cách thức quyết định thức bao quanh

Chỉ rời khỏi một quyết định thức con cái cấp cho s của ma mãnh trận không giống 0, tính toàn bộ những quyết định thức con cái cấp cho s + 1 xung quanh quyết định thức con cái cấp cho s, nếu như toàn bộ những quyết định thức con cái cấp cho s + 1 này bởi 0 thì hạng của ma mãnh trận bởi s, ngược lại nếu như mang 1 quyết định thức con cái cấp cho s + 1 không giống 0, tính toàn bộ những quyết định thức con cái cấp cho s + 2 xung quanh quyết định thức con cái cấp cho s + 1…

>>Xem thêm Hạng của một hệ véctơ

Các đặc thù về hạng của ma mãnh trận

a) $r(A)=r({A}');$

b) Nếu $A$ là một trong những ma mãnh trận vuông cấp cho $n$ Khi cơ $r(A)=n\Leftrightarrow \det (A)\ne 0,$ phụ thuộc vào đặc thù này tất cả chúng ta rất có thể sử dụng quyết định thức nhằm dò xét hoặc biện luận hạng của một ma mãnh trận vuông;

c) Nếu $A$ là một trong những ma mãnh trận vuông cấp cho $n$ Khi cơ hệ véctơ dòng sản phẩm (hệ véctơ cột) của ma mãnh trận $A$ song lập tuyến tính Khi và chỉ Khi $r(A)=n.$

>>Xem thêm Tổng ăn ý đề thi đua và giải cụ thể Đề Giữa kì Đại số tuyến tính Đại học tập bách khoa TP Hà Nội học tập kì 20191

>>Xem thêm Tổng ăn ý đề thi đua và giải cụ thể Đề Giữa kì Giải tích 1 Đại học tập bách khoa TP Hà Nội học tập kì 20191

1. Tìm hạng của ma mãnh trận mang đến trước

Để dò xét hạng của ma mãnh trận mang đến trước tớ rất có thể dùng phép tắc chuyển đổi Gauss hoặc dùng quyết định thức xung quanh (định thức con cái chủ yếu cấp cho k của ma mãnh trận). Cùng coi những ví dụ sau:

Câu 1: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: 

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - 2{d_1} + {d_2} \\ - 3{d_1} + {d_3} \\ - 2{d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&2&3&{ - 7}&5 \\ 0&3&{ - 2}&{ - 4}&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $r(A)=3.$ 

Câu 2: Cho $x,y,z$ là tía nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-2019t+4=0,$ dò xét hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right).$

Giải. Theo vi – ét đem $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và \[\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + nó + z}&{x + nó + z}&{x + nó + z} \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right|({d_1} + {d_2} + {d_3}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = 0.\]

Do cơ $r(A)\le 2.$ Mặt không giống $D_{12}^{12}=xz-{{y}^{2}}\Rightarrow yD_{12}^{12}=xyz-{{y}^{3}}=-4-{{y}^{3}}=-2019y\Rightarrow D_{12}^{12}=-2019\ne 0.$

Vậy $r(A)\ge 2\Rightarrow r(A)=2.$

Câu 3: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {d_1} + {d_3} \\ - {d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&3&5 \\ 0&6&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - {d_2} + {d_3} \\ - 2{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&0&6 \\ 0&0&6 \end{array}} \right)\xrightarrow{{}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&0&6 \end{array}} \right).\]

Vậy $r(A)=3.$

Câu 4: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right)$ bởi cách thức quyết định thức xung quanh.

Giải. Có $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ { - 1}&3 \end{array}} \right| = 5 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&3&0 \\ 2&4&1 \end{array}} \right| = - 25 \ne 0;$

Kiểm tra những quyết định thức cấp cho 4 xung quanh quyết định thức $D_{123}^{123}$ có

$D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \end{array}} \right| = 0;D_{1235}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$    

Câu 5: Tìm hạng của ma mãnh trận \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right)\] bởi cách thức quyết định thức xung quanh.

Giải. Có \[D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 0&2 \end{array}} \right| = 2 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2 \\ 0&2&1 \\ 0&0&3 \end{array}} \right| = 6 \ne 0;D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3 \\ 0&2&1&2 \\ 0&0&3&3 \\ 0&0&0&4 \end{array}} \right| = 24 \ne 0.\]

Ta xét những quyết định thức cấp cho 5 xung quanh quyết định thức cấp cho 4 trên

\[D_{12345}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \end{array}} \right| = 0;D_{12346}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right| = 0.\] Vậy $r(A)=4.$ 

Câu 6:Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right).$

Giải. Ta có

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right)\xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 1,2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 1&1&1&{...}&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 0&0&0&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&0 \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 7: Tìm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3&0 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1}&4 \\ 3&1&3&1&5 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1&{ - 10} \end{array}} \right).$

Giải. Có $D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1} \\ 3&1&3&1 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = 45 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 4.$

Câu 8: Tìm hạng của ma mãnh trận sau $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right).$

Giải. Có chuyển đổi ma mãnh trận:

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{i + 1}}}}{\mathbf{,i = 1,2,...,n - 1}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&1&1 \\ {n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{,i = 3,...,n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&0&0 \\ {n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&0&0 \end{array}} \right) \Rightarrow rank(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \]

>>Xem tăng những đọc thêm cho tới hệ phương trình tuyến tính

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: Mô hình Input - Output của Leontief

Bài 5: Mô hình cân đối thị ngôi trường và cân đối tài chính vĩ mô

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN CHO TRƯỚC

Tìm hạng của những ma mãnh trận sau:

a) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&1 \\ 1&{ - 1}&{ - 3} \\ 1&1&1 \end{array}} \right);$	b) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&{ - 1}&4 \\ 3&{ - 4}&2&{ - 1} \\ { - 1}&7&{ - 2}&{ - 8} \\ 4&6&{ - 1}&{ - 5} \end{array}} \right);$
c) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&3&2&5 \\ 5&{ - 3}&2&3&4 \\ 1&{ - 3}&{ - 5}&0&{ - 7} \\ 7&{ - 5}&1&4&1 \end{array}} \right);$	d) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&5&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&{ - 3}&4 \\ 5&1&{ - 1}&7 \\ 7&7&9&1 \end{array}} \right);$
e) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25}&{31}&{17}&{43} \\ {75}&{94}&{53}&{132} \\ {75}&{94}&{54}&{134} \\ {25}&{32}&{20}&{48} \end{array}} \right);$	f) $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&{ - 5}&2&3 \\ 8&6&{ - 7}&4&2 \\ 4&3&{ - 8}&2&7 \\ 4&3&1&2&{ - 5} \\ 8&6&{ - 1}&4&{ - 6} \end{array}} \right).$

2. Biện luận hạng của ma mãnh trận theo đuổi tham lam số

Tương tự động như dò xét hạng của ma mãnh trận mang đến trước tớ rất có thể dùng phép tắc chuyển đổi Gauss hoặc sử dụng định thức bao quanh (định thức con cái chủ yếu cấp cho k của ma mãnh trận). Nếu ma mãnh trận cần thiết biện luận hạng là một trong những ma mãnh trận vuông tớ rất có thể biện luận hạng của chính nó theo đuổi quyết định thức của ma mãnh trận cơ. Cùng coi những ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm $m$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&{ - 1}\\ 2&{m + 4}&{ - 2}&{ - 1}\\ 3&{m + 6}&{ - 3}&{m - 3} \end{array}} \right)$ có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&{ - 1}&3\\ 2&m&1&2\\ 3&1&2&0 \end{array}} \right)$ có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma mãnh trận sau nhỏ nhất, với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4&1\\ a&2&3&1\\ 3&{ - 1}&1&0\\ 3&3&7&2 \end{array}} \right).$

Ví dụ 4: Cho ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ m&1&2&{ - 1}\\ 3&1&{ - 4}&2 \end{array}} \right).$ Chứng minh rằng với từng $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_{123}^{234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&4&2 \end{array}} \right| = 15 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 3,\forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&2\\ { - 1}&2&3&4\\ { - 1}&9&{10}&m \end{array}} \right).$

Ví dụ 6: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&{ - 1}&2\\ 2&{ - 1}&m&5\\ 1&{10}&{ - 6}&1 \end{array}} \right).$

Ví dụ 7: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m&3\\ { - 1}&2&1&4\\ 4&3&2&1\\ { - 3}&4&1&2 \end{array}} \right).$

Ví dụ 8: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {7 - m}&{ - 12}&6\\ {10}&{ - 19 - m}&{10}\\ {12}&{ - 24}&{13 - m} \end{array}} \right).$

Ví dụ 9: Biện luận hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 2&m&{ - 1}&2&1 \\ 1&1&{ - 1}&m&{ - 1} \\ 2&3&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right).$

Giải. Biến thay đổi ma mãnh trận $A$

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 2&m&{ - 1}&2&1 \\ 1&1&{ - 1}&m&{ - 1} \\ 2&3&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 0&{m + 2}&1&0&3 \\ 0&2&0&{m - 1}&0 \\ 0&5&1&0&3 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 0&5&1&0&3 \\ 0&2&0&{m - 1}&0 \\ 0&{m + 2}&1&0&3 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}\dfrac{{\mathbf{2}}}{{\mathbf{5}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}\dfrac{{{\mathbf{m + 2}}}}{{\mathbf{5}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&1 \\ 0&5&1&0&3 \\ 0&0&{ - \dfrac{2}{5}}&{m - 1}&{ - \dfrac{6}{5}} \\ 0&0&0&{\dfrac{{3 - m}}{5}}&{\dfrac{{3\left( {3 - m} \right)}}{5}} \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

+ Nếu $m=3\Rightarrow r\left( A \right)=3$

+ Nếu $m\ne 3\Rightarrow r\left( A \right)=4$

Ví dụ 10: Tìm $m$ nhằm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ { - 1}&1&3&{ - 1}\\ 1&{ - 1}&7&m \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right).$

Giải. Có

$\begin{array}{l} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 6}&2&2&2\\ {m + 6}&m&2&2\\ {m + 6}&2&m&2\\ {m + 6}&2&2&m \end{array}} \right|({c_4} + {c_3} + {c_2} + {c_1})\\ = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 1&m&2&2\\ 1&2&m&2\\ 1&2&2&m \end{array}} \right| = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 0&{m - 2}&0&0\\ 0&0&{m - 2}&0\\ 0&0&0&{m - 2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} { - d1 + {d_2}}\\ { - {d_1} + {d_3}}\\ { - {d_1} + {d_4}} \end{array} = {(m - 2)^3}(m + 6). \end{array}$

• Nếu $\det (A)\ne 0\Leftrightarrow m\notin \left\{ 2,-6 \right\}\Rightarrow r(A)=4;$
• Nếu $m=2\Rightarrow r(A)=1;$
• Nếu $m=-6\Rightarrow r(A)=3$ (bạn phát âm tự động kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1}\\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4}\\ 1&{4 - m}&{m - 1}&{2m - 4} \end{array}} \right)$ đem hạng bởi 2.

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{2 - a}&4&{{a^2}}\\ 1&{1 - a}&2&0\\ 3&{3 - 2a}&{8 - a}&4 \end{array}} \right)$ đem hạng bé nhỏ nhất.

Xem thêm: Hình xăm mini độc, lạ, ý nghĩa dành cho nữ

Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&m&0&3\\ m&2&1&2\\ 2&1&{ - 2}&2 \end{array}} \right)$ lớn số 1.

Ví dụ 15: Tìm $a,b,c$ nhằm hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 2&3&{ - 1}&{2b}&{ - a}&{b - 2} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.

Giải. Ta có:

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 2&3&{ - 1}&{2b}&{ - a}&{b - 2} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 0&7&{ - 1}&{ - 2a - 2 + 2b}&{ - a - 2b}&{b - 2 + 2c} \\ 0&{ - 7}&1&c&{2c - 1}&{2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&0&{a + 1}&b&{ - c} \\ 0&7&{ - 1}&{ - 2a - 2 + 2b}&{ - a - 2b}&{b - 2 + 2c} \\ 0&0&0&{ - 2a + 2b + c - 2}&{ - a - 2b + 2c - 1}&{2a + b + 2c - 2} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $r{(A)_{\min }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2a + 2b + c - 2 = 0 \hfill \\ - a - 2b + 2c - 1 = 0 \hfill \\ 2a + b + 2c - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \dfrac{1}{9} \hfill \\ b = \dfrac{4}{9} \hfill \\ c = \dfrac{8}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Ví dụ 16: Cho những số thực dương $a,b$ thoả mãn $a+b>2$ và ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right).$ Biện luận theo đuổi $a,b$ hạng của ma mãnh trận $A.$

Giải. Đây là ma mãnh trận vuông vậy trước tiên tính quyết định thức của nó:

\[\begin{gathered} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + 2}&a&1&b \\ {a + b + 2}&1&b&1 \\ {a + b + 2}&b&1&a \\ {a + b + 2}&1&a&1 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 1&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ 1&1&a&1 \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 0&{1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ 0&{b - a}&0&{a - b} \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ {1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ 0&{a - b}&0 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \right) \\ = (a + b + 2)(a - b){( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{1 - b} \\ {b - a}&{a - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2){(a - b)^2}(a + b - 2). \\ \end{gathered} \]

Do $a+b>2\Rightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow a=b.$

+) Nếu $a\ne b\Rightarrow \det (A)\ne 0\Rightarrow r(A)=4.$

+) Nếu $a = b \Rightarrow a = b > 1 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \\ 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \end{array}} \right);D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ a&1 \end{array}} \right| = 1 - {a^2} < 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1 \\ a&1&a \\ 1&a&1 \end{array}} \right| = 0.$

Do cơ $r(A)=2.$

Ví dụ 17: Chứng minh rằng hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&{ - 1}&1 \\ m&{ - 1}&1&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&m&0&1&1 \\ 1&2&2&{ - 1}&1 \end{array}} \right)$ không phụ nằm trong vô thông số $m.$

Giải. Biến thay đổi ma mãnh trận $A$

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&{ - 1}&1 \\ m&{ - 1}&1&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&m&0&1&1 \\ 1&2&2&{ - 1}&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&2 \\ { - 1}&{ - 1}&1&m&{ - 1} \\ 1&1&0&1&m \\ { - 1}&1&2&1&2 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&{ - 2}&0&{m + 1}&{ - 3} \\ 0&2&1&0&{m + 2} \\ 0&0&1&2&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&{ - 2}&0&{m + 1}&{ - 3} \\ 0&0&1&{m + 1}&{m - 1} \\ 0&0&1&2&0 \end{array}} \right) \Rightarrow r\left( A \right) = 4,\forall m \hfill \\ \end{gathered} \]

Ta đem điều cần minh chứng.

Ví dụ 18: Biện luận hạng của ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&{ - 1} \\ { - 3}&2&{a + 1}&3 \\ {2a + 1}&{ - 1}&0&1 \\ { - 2}&2&1&3 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có:

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&{ - 1} \\ { - 3}&2&{a + 1}&3 \\ {2a + 1}&{ - 1}&0&1 \\ { - 2}&2&1&3 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 3&2&{a + 1}&{ - 3} \\ 1&{ - 1}&0&{2a + 1} \\ 3&2&1&{ - 2} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 0&{ - 1}&{a + 1}&0 \\ 0&{ - 2}&0&{2a + 2} \\ 0&{ - 1}&1&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 0&{ - 1}&{a + 1}&0 \\ 0&0&{ - 2(a + 1)}&{2a + 2} \\ 0&0&{ - a}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{a}}{{\mathbf{d}}_3}{\mathbf{ - 2(a + 1)}}{{\mathbf{d}}_4}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ 0&{ - 1}&{a + 1}&0 \\ 0&0&{ - 2(a + 1)}&{2a + 2} \\ 0&0&0&{2(a + 1)(a - 1)} \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = \left\{ \begin{gathered} 4{\text{ Khi }}a \ne \pm 1 \hfill \\ 3{\text{ Khi }}a = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 19: Biết rằng ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ { - 1}&{1 - ab}&{1 - {b^2}} \end{array}} \right)$ đem hạng bởi 2. Tính ${{(a+b)}^{2}}.$

Giải. Biến thay đổi ma mãnh trận đang được cho

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ { - 1}&{1 - ab}&{1 - {b^2}} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ 0&{2 - {a^2} - ab}&{2 - ab - {b^2}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{(}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + ab - 2)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - {a^2}}&{1 - ab} \\ 0&1&{ - 1} \\ 0&0&{4 - 2ab - {a^2} - {b^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $r(A)=2\Leftrightarrow 4-2ab-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=4.$

Ví dụ 20: Cho những số thực dương $a,b$ thoả mãn $a+b>2$ và ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right).$ Biện luận theo đuổi $a,b$ hạng của ma mãnh trận $A.$

Đây là ma mãnh trận vuông vậy trước tiên tính quyết định thức của nó:

\[\begin{gathered} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ a&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ b&1&a&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + 2}&a&1&b \\ {a + b + 2}&1&b&1 \\ {a + b + 2}&b&1&a \\ {a + b + 2}&1&a&1 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 1&1&b&1 \\ 1&b&1&a \\ 1&1&a&1 \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&b \\ 0&{1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ 0&{b - a}&0&{a - b} \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| \\ = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ {1 - a}&{a - 1}&{1 - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{b - 1}&{1 - b} \\ {b - a}&0&{a - b} \\ 0&{a - b}&0 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \right) \\ = (a + b + 2)(a - b){( - 1)^{3 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - a}&{1 - b} \\ {b - a}&{a - b} \end{array}} \right| = (a + b + 2){(a - b)^2}(a + b - 2). \\ \end{gathered} \]

Do $a+b>2\Rightarrow \det (A)=0\Leftrightarrow a=b.$

+) Nếu $a\ne b\Rightarrow \det (A)\ne 0\Rightarrow r(A)=4.$

+) Nếu $a = b \Rightarrow a = b > 1 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \\ 1&a&1&a \\ a&1&a&1 \end{array}} \right);D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ a&1 \end{array}} \right| = 1 - {a^2} < 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&1 \\ a&1&a \\ 1&a&1 \end{array}} \right| = 0.$

Do cơ $r(A)=2.$

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}},n\ge 2$ và ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A,$ Khi cơ tớ có:

• $r(A)=n\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=n;$
• $r(A)=n-1\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=1;$
• $r(A)\le n-2\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=0.$

Chứng minh coi bài xích giảng bên trên đây: https://framesi.com.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

hoặc bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/dinh-li-ve-hang-cua-ma-tran-phu-hop-cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu/d82056f4-cd53-4877-b64b-ad797fc95185

Ví dụ 1: Cho ma mãnh trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&1 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right).$ Biện luận theo đuổi $m$ hạng của ma mãnh trận ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A.$

Giải. Ta có:

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&1 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ { - 3}&4&2&1 \\ 4&{ - 3}&2&1 \\ 1&2&m&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ 0&{ - 2}&{ - 1}&{ - 8} \\ 0&5&6&{13} \\ 0&4&{m + 1}&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ 0&{ - 2}&{ - 1}&{ - 8} \\ 0&0&7&{ - 14} \\ 0&0&{m - 1}&{ - 12} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - (m - 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + 7}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1&3 \\ 0&{ - 2}&{ - 1}&{ - 8} \\ 0&0&7&{ - 14} \\ 0&0&0&{14(m - 7)} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

+) Nếu $m\ne 7\Rightarrow r(A)=4\Rightarrow r({{A}^{*}})=4;$

+) Nếu $m=7\Rightarrow r(A)=3=4-1\Rightarrow r({{A}^{*}})=1.$

4. Dạng toán minh chứng về hạng của ma mãnh trận

Ta dùng những đặc thù về hạng của ma mãnh trận sau đây:

1. $r(A)=r({A}');$
2. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là nhì ma mãnh trận nằm trong cấp;
3. $r(AB)\le r(A);r(AB)\le r(B)$ với $A,B$ là nhì ma mãnh trận bất kì sao mang đến $AB$ tồn tại;
4. $r(A)+r(B)\le r(AB)+n$ với $A,B$ là nhì ma mãnh trận vuông nằm trong cấp cho.

Ví dụ 1: Cho ma mãnh trận $A$ vuông cấp cho $n$ thoả mãn ${{A}^{2}}=E.$ Chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma mãnh trện có:

$\begin{array}{l} r(E - A) + r(E + A) \ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\\ r(E - A) + r(E + A) \le r((E - A)(E + A)) + n = r({E^2} - {A^2}) + n = r(O) + n = n \end{array}$

Vậy  $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ đem ${{a}_{ij}}=0,\forall i=j;{{a}_{ij}}\in \left\{ 1,2019 \right\},\forall i\ne j.$ Chứng minh rằng $r(A)\ge n-1.$

Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=1,\forall i,j=1,2,..,n$ Khi cơ $C=A-B={{({{a}_{ij}}-{{b}_{ij}})}_{n\times n}}={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}}$ với \[{{c}_{ij}}=-1,\forall i=j;{{c}_{ij}}\in \left\{ 0,2018 \right\},\forall i\ne j.\]

Do cơ $\det (C)-{{(-1)}^{n}}$ phân chia không còn mang đến 2018, tức $\det (C)\ne 0\Rightarrow r(C)=n.$

Mặt không giống $C=A-B\Rightarrow r(C)=r(A-B)\le r(A)+r(-B)=r(A)+1\Rightarrow r(A)\ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma mãnh trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ đem ${{a}_{ij}}=i+j,\forall i,j=1,2,...,n.$ Tìm hạng của ma mãnh trận $A.$

Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=i,\forall i=1,2,...,n;C={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}},{{c}_{ij}}=j,\forall j=1,2,...,n.$

Giải. Ta đem $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+C\Rightarrow r(A)=r(B+C)\le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&4 \end{array}} \right| = - 1 \ne 0 \Rightarrow r(A) \ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Ví dụ 4: Cho nhì ma mãnh trận $A,B$ vuông nằm trong cấp cho sao mang đến ${{A}^{2}}=A,{{B}^{2}}=B$ và ma mãnh trận $E-A-B$ khả nghịch ngợm. Chứng minh rằng $r(A)=r(B).$

Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch ngợm nên $\left\{ \begin{gathered} r(A) = r(A(E - A - B)) = r(A - {A^2} - AB) = r( - AB) \hfill \\ r(B) = r((E - A - B)B) = r(B - AB - {B^2}) = r( - AB) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow r(A) = r(B).$

Ví dụ 5: Cho ma mãnh trận vuông $A$ thoả mãn ${{A}^{m}}=O.$ Chứng minh rằng với từng số nguyên vẹn dương $n$ tớ luôn luôn đem $r(A)=r(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}).$

Giải. Xét những phương trình $AX=O(1);(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}})X=O(2).$

Ta chỉ việc minh chứng (1) và (2) đem nằm trong luyện nghiệm, Khi cơ $r(A)=r(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}})=p-r$ vô cơ $p$ là cấp cho của ma mãnh trận $A;$ và $r$ là số chiều không khí nghiệm của nhì hệ phương trình.

+) Nếu $A{{X}_{0}}=O\Rightarrow (A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=A{{X}_{0}}+A(A{{X}_{0}})+...+{{A}^{n-1}}(A{{X}_{0}})=O.$

+) Nếu $(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=O\Rightarrow A{{X}_{0}}=-({{A}^{2}}+...+{{A}^{n}}){{X}_{0}}=-{{A}^{2}}(E+A+...+{{A}^{n-2}}){{X}_{0}}={{A}^{2}}B{{X}_{0}},$ vô cơ $B=-(E+A+...+{{A}^{n-2}}),AB=BA.$

Suy rời khỏi \[A{{X}_{0}}={{A}^{2}}B{{X}_{0}}=A(AB){{X}_{0}}=A(BA){{X}_{0}}=AB({{A}^{2}}B{{X}_{0}})={{B}^{2}}{{A}^{2}}(A{{X}_{0}})=...{{B}^{k}}{{A}^{k}}(A{{X}_{0}})=O,k\ge m.\]

Ta đem điều cần minh chứng.

Ví dụ 6: Cho $A$ là ma mãnh trận thực cấp cho $4\times 2$ và $B$ là ma mãnh trận thực cấp cho $2\times 4$ thoả mãn $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&0 \\ 0&1&0&{ - 1} \\ { - 1}&0&1&0 \\ 0&{ - 1}&0&1 \end{array}} \right).$ Tìm ma mãnh trận $BA.$

5. Khảo sát hạng của hệ véctơ dựa vào hạng của ma mãnh trận

Hiện bên trên Vted.vn kiến thiết 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH khối ngành Kinh tế của toàn bộ những trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học tập cung ứng rất đầy đủ kỹ năng và cách thức giải bài xích luyện những dạng toán kèm theo từng bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài xích luyện tập luyện dạng Tự luận đem điều giải cụ thể bên trên trang web sẽ hỗ trợ học tập viên học tập thời gian nhanh và áp dụng chắc chắn là kỹ năng. Mục chi của khoá học tập canh ty học tập viên đạt điểm A thi đua cuối kì những học tập phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong những ngôi trường tài chính.

Sinh viên những ngôi trường ĐH tại đây rất có thể học tập được bộ combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

Xem thêm: Công thức Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục (sách mới).

và những ngôi trường ĐH, ngành tài chính của những ngôi trường ĐH không giống bên trên từng toàn nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY