Tài liệu ôn tập Hình học Lớp 7

Nội dung text: Tài liệu ôn luyện Hình học tập Lớp 7 - Chủ đề 9: Chứng minh tía điểm trực tiếp hàng

1. CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. Đây là kiến thức và kỹ năng thông thường vận dụng cho tới chương 2 Hình Lớp 7 D 1. Phương pháp 1: (Hình 1) * Nếu ·ABD D· BC 1800 thì tía điểm A; B; C trực tiếp sản phẩm. o A B C Cửa hàng lý thuyết: Góc với số đo bởi vì 180 là góc bẹt hình 1 2. Phương pháp 2: ( Hình 2) Nếu AB // a và AC // a thì tía điểm A; B; C trực tiếp sản phẩm. a Cửa hàng lý thuyết là: định đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7 A B C 3. Phương pháp 3: ( Hình 3) hình 2 * Nếu AB  a ; AC  A thì tía điểm A; B; C trực tiếp sản phẩm. A Cửa hàng của cách thức này là: Có một và có một đường thẳng liền mạch a’ trải qua điểm O và vuông góc với đường thẳng liền mạch a cho tới trước B * Hoặc chứng tỏ A; B; C nằm trong phụ thuộc một lối trung trực của C a hình 3 một quãng trực tiếp. 4. Phương pháp 4: ( Hình 4) x * Nếu tia OA và tia OB nằm trong là tia phân giác của góc xOy thì tía A B điểm O; A; B trực tiếp sản phẩm. O hình 4 Cửa hàng của cách thức này là: Mỗi góc với cùng 1 và có một tia hắn phân giác . * Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trong phía trên nửa mặt mũi bằng bờ chứa chấp tia Ox , x·OA x·OB thì tía điểm O, A, B trực tiếp sản phẩm. 5. Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là uỷ thác điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’  K thì A, K, C trực tiếp sản phẩm. Cửa hàng của cách thức này là: Mỗi đoạn trực tiếp có duy nhất một trung điểm
2. B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I/ PHƯƠNG PHÁP 1 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở nhì nửa mặt mũi bằng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho tới CD = AB. Chứng minh tía điểm B, M, D trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Muốn B, M, D trực tiếp sản phẩm cần thiết chứng tỏ B·MC C·MD 1800 Do ·AMB B·MC 1800 nên cần thiết chứng tỏ ·AMB D·MC Hướng dẫn Xét AMB và CMD có: B AB = DC (gt). = · · 0 BAM DCM 90 / / C A M MA = MC (M là trung điểm AC) = hình 5 Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: ·AMB D·MC D Mà ·AMB B·MC 1800 (kề bù) nên B·MC C·MD 1800 . Vậy tía điểm B; M; D trực tiếp sản phẩm. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D tuy nhiên AD = AB, bên trên tia đối tia AC lấy điểm E tuy nhiên AE = AC. Gọi M; N theo thứ tự là những điểm bên trên BC và ED sao cho tới CM = EN. Chứng minh tía điểm M; A; N trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Chứng minh C·AM C·AN 1800 Từ tê liệt suy đi ra tía điểm M; A; N trực tiếp sản phẩm. Hướng dẫn N ABC = ADE (c.g.c) E // D Cµ Eµ A ACM = AEN (c.g.c) · · MAC NAE // B M C Mà E·AN C·AN 1800 (vì tía điểm E; A; C trực tiếp hàng) hình 6 => C·AM C·AN 1800 Vậy tía điểm M; A; N trực tiếp sản phẩm (đpcm)
3. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho tới AD = AC, bên trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho tới AE = AB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD. Chứng minh tía điểm M, A, N trực tiếp sản phẩm. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A với ·ABC 600 . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở phía ở nằm trong phía bờ BC), bên trên tia Cx lấy điểm E sao cho tới CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho tới BF = BA. Chứng minh tía điểm E, A, F trực tiếp sản phẩm. Bài 3: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, điểm D nằm trong cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho tới CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K nằm trong đường thẳng liền mạch BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh tía điểm D, M, E trực tiếp sản phẩm. Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn trực tiếp AB. Trên nhì nửa mặt mũi bằng đối nhau bờ AB, kẻ Hai tia Ax và By sao cho tới B·Ax ·ABy .Trên Ax lấy nhì điểm C và E(E nằm trong lòng A và C), bên trên By lấy nhì điểm D và F ( F nằm trong lòng B và D) sao cho tới AC = BD, AE = BF. Chứng minh tía điểm C, O, D trực tiếp sản phẩm , tía điểm E, O, F trực tiếp sản phẩm. Bài 5. Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng liền mạch xy // BC. Từ điểm M bên trên cạnh BC, vẽ những đường thẳng liền mạch tuy nhiên song AB và AC, những đường thẳng liền mạch này hạn chế xy theo dõi trật tự bên trên D và E. Chứng minh những đường thẳng liền mạch AM, BD, CE nằm trong trải qua một điểm. II/ PHƯƠNG PHÁP 2 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của những cạnh AC, AB. Trên Các đường thẳng liền mạch BM và công nhân theo thứ tự lấy những điểm D và E sao cho tới M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh tía điểm E, A, D trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Ta chứng tỏ AD // BC và AE // BC. Hướng dẫn E A Xét BMC và DMA có: D MC = MA (do M là trung điểm AC) = / N M · · BMC DMA (hai góc đối đỉnh) / = MB = MD (do M là trung điểm BD) B C Hình 7 Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ·ACB D· AC , nhì góc này ở địa điểm sánh le nhập nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự động : BC // AE (2) Điểm A ở ngoài BC với cùng 1 và có một đường thẳng liền mạch tuy nhiên song BC nên kể từ (1) và (2) và theo dõi Tiên đề Ơ-Clit suy đi ra tía điểm E, A, D trực tiếp sản phẩm.
4. Ví dụ 2: Cho nhì đoạn trực tiếp AC và BD hạn chế nhau tai trung điểm O của từng đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho tới B là trung điểm AM, bên trên tia AD lấy điểm N sao cho tới D là trung điểm AN. Chúng minh tía điểm M, C, N trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Chứng minh: CM // BD và công nhân // BD kể từ tê liệt suy đi ra M, C, N trực tiếp sản phẩm. Hướng dẫn Xét AOD và COD có: A OA = OC (vì O là trung điểm AC) x = * ·AOD C·OB (hai góc đối đỉnh) X O B / / D OD = OB (vì O là trung điểm BD) = * Vậy AOD = COB (c.g.c) X M C N Suy ra: D· AO O·CB . Do đó: AD // BC. Nên D· AB C·BM (ở địa điểm đồng vị) Hình 8 Xét DAB và CBM với : AD = BC ( vì thế AOD = COB), D· AB C·BM , AB = BM ( B là trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c). Suy đi ra ·ABD B·MC . Do tê liệt BD // CM. (1) Lập luận tương tự động tớ được BD // công nhân. (2) Từ (1) và (2) , theo dõi định đề Ơ-Clit suy đi ra tía điểm M, C, N trực tiếp sản phẩm.
5. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2 Bài 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn xoe tâm C nửa đường kính AB và cung tròn xoe tâm B nửa đường kính AC. Đường tròn xoe tâm A nửa đường kính BC hạn chế những cung tròn xoe tâm C và tâm B theo thứ tự bên trên E và F. ( E và F phía trên nằm trong nửa mặt mũi bằng bờ BC chứa chấp A). Chứng minh tía điểm F, A, E trực tiếp sản phẩm. III/ PHƯƠNG PHÁP 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = AC. Gọi M là trung điểm BC. a) Chứng minh AM  BC. b) Vẽ hai tuyến đường tròn xoe tâm B và tâm C với nằm trong nửa đường kính sao cho tới bọn chúng hạn chế nhau bên trên nhì điểm Phường và Q . Chứng minh tía điểm A, Phường, Q trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Xử dụng cách thức 3 hoặc 4 đều giải được. - Chứng minh AM , PM, QM nằm trong vuông góc BC - hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC. Hướng dẫn A Cách 1. Xử dụng cách thức 3. a) Chứng minh AM  BC. = = XétΔABM và ΔACM có: Phường AB =AC (gt) / / B M C AM cộng đồng Q MB = MC (M là trung điểm BC) Hình 9 Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c). Suy ra: ·AMB ·AMC (hai góc tương ứng) Mà ·AMB ·AMC 1800 (hai góc kề bù) nên ·AMB ·AMC 900 Do đó: AM  BC (đpcm) b) Chứng minh tía điểm A, Phường, Q trực tiếp sản phẩm. Chứng minh tương tự động tớ được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c). Suy ra: P·MB P·MC (hai góc tương ứng), tuy nhiên P·MB P·MC 1800 nên P·MB P·MC = 900 Do đó: PM  BC. Lập luận tương tự động QM  BC Từ điểm M bên trên BC với AM  BC,PM  BC, QM  BC => tía điểm A, Phường, Q trực tiếp sản phẩm (đpcm) Cách 2. Xử dụng cách thức 4. Chứng minh : ΔBPA = ΔCPA B·AP C·AP . Vậy AP là tia phân giác của B·AC . (1)
6. ΔABQ = ΔACQ B·AQ C·AQ .Vậy AQ là tia phân giác của B·AC . (2) Từ (1) và (2) suy đi ra tía điểm A; P; Q trực tiếp sản phẩm. IV/ PHƯƠNG PHÁP 4 Ví dụ: Cho góc xOy .Trên nhì cạnh Ox và Oy lấy theo thứ tự nhì điểm B và C sao cho tới OB = OC. Vẽ lối tròn xoe tâm B và tâm C với nằm trong nửa đường kính sao cho tới bọn chúng hạn chế nhau bên trên nhì điểm A và D trực thuộc góc xOy. Chứng minh tía điểm O, A, D trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy Hướng dẫn Xét ΔBOD và ΔCOD có: OB = OC (gt) ; OD cộng đồng BD = CD (D là uỷ thác điểm của hai tuyến đường tròn xoe x tâm B và tâm C nằm trong cung cấp kính). B Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). => B·OD C·OD . / = = A Điểm D trực thuộc góc xOy nên tia OD nằm trong lòng O D / = = nhì tia Ox và Oy. C hắn Do tê liệt OD là tia phân giác của x·Oy . Chứng minh tương tự động tớ được OA là tia phân giác Hình 10 của x·Oy . Góc xOy có duy nhất một tia phân giác nên nhì tia OD và OA trùng nhau. Vậy tía điểm O, D, A trực tiếp sản phẩm.
7. BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 4 Bài 1. Cho tam giác ABC với AB = AC. Kẻ BM  AC, công nhân  AB (M AC, N AB ), H là uỷ thác điểm của BM và công nhân. a) Chứng minh AM = AN. b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh tía điểm A, H, K trực tiếp sản phẩm. Bài 2. Cho tam giác ABC với AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt mũi bằng bờ AB chứa chấp C kẻ tia Bx vuông góc AB, bên trên nửa mặt mũi bằng bờ AC chứa chấp B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy hạn chế nhau bên trên E. Chứng minh tía điểm A, H, E trực tiếp sản phẩm. V/ PHƯƠNG PHÁP 5 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân nặng ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, bên trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho tới BM = công nhân. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh tía điểm B, K, C trực tiếp sản phẩm Gợi ý: Xử dụng cách thức 5 A Hướng dẫn M = Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F BC) K' C F B E K = BME và CNF vuông bên trên E và F có: hình 11 N BM = công nhân (gt), M· BE N·CF ( nằm trong bởi vì ·ACB ) Do đó: BME = CNF (Trường ăn ý cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF. Gọi K’ là uỷ thác điểm của BC và MN. MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), E·MK ' F·NK ' ( sánh le nhập của ME A // FN) . Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ . Vậy K’ là trung điểm MN, tuy nhiên K là trung điểm MN nên K  K’ Do tê liệt tía điểm B,K,C trực tiếp sản phẩm. M = Cách 2. Kẻ ME // AC (E BC) ·ACB M· EB (hai góc đồng vị) K' C B E K Hình 12 = Mà ·ACB ·ABC nên M· BE M· EB . Vậy ΔMBE cân nặng ở M. N Do đó: MB = ME kết phù hợp với fake thiết MB = NC tớ được ME = công nhân. Gọi K’ là uỷ thác điểm của BC và MN. Xét ΔMEK’ và ΔNCK’ có: K· 'ME K· ' NC (so le nhập của ME //AC) ME = công nhân (chứng minh trên) M· EK ' N·CK ' (so le nhập của ME //AC) Do tê liệt : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’.
8. Vậy K’ là trung điểm MN, tuy nhiên K là trung điểm MN nên K  K’ Do tê liệt tía điểm B,K,C trực tiếp sản phẩm. Lưu ý: Cả nhì cơ hội giải bên trên phần đông học viên chứng tỏ ΔMEK = ΔNCK vô tình quá nhận B, K, C trực tiếp sản phẩm, việc chứng tỏ nghe với lý lắm tuy nhiên ko biết là sai Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân nặng ở A , B·AC 1080 , Gọi O là một trong những điểm phía trên tia phân giác của góc C sao cho tới C·BO 120 . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A nằm trong phụ thuộc 50% mặt mũi bằng bờ BO). Chứng minh tía điểm C, A, M trực tiếp sản phẩm. Gợi ý: Chứng minh O·CA O·CM kể từ tê liệt suy đi ra tia CA và tia CM trùng nhau. Hướng dẫn 1800 1080 Tam giác ABC cân nặng ở A nên ·ABC ·ACB 360 (tính hóa học của tam giác cân). 2 Mà CO là tia phân giác của ·ACB , nên ·ACO B·CO 180 . Do tê liệt B·OC 1500 ΔBOM đều nên B·OM 600 . Vậy : M· OC 3600 (1500 600 ) 1500 Xét ΔBOC và ΔMOC có: M OB = OM ( vì thế ΔBOM đều) A = B·OC M· OC 1500 = 108 / O / // 12 C OC cộng đồng B Hình 13 Do tê liệt : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) Suy ra: O·CB O·CM tuy nhiên O·CB O·CA (gt) nên O·CA O·CM . Hai tia CA và CM nằm trong phía trên nửa mặt mũi bằng bờ CO và O·CA O·CM nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy tía điểm C, A, M trực tiếp sản phẩm. (đpcm)