Chuyên đề : Giá trị tuyệt đối - Đại số

Hiện ni, bản thân thấy phần Giá trị tuyệt đối này đang được dần dần bị quên khuấy, trong lúc một số trong những đề đua HSG xuất sắc lúc này vẫn cho tới Giá trị tuyệt đối. Online bên trên diễn đàn, tôi cũng ko thường trông thấy người xem  dùng hoặc nói tới nội dung gần giống phần mềm của phần này, vậy nên, ngày hôm nay bản thân lập đi ra một chủ thể Giá trị tuyệt đối để người xem nằm trong thảo luận và bổ sung cập nhật tăng kỹ năng và kiến thức về yếu tố này. (Mình cũng mới mẻ đươc học tập kĩ bao nhiêu ngày qua  , cho nên việc đưa đến chủ thể này cugn4 nhằm bản thân được tiếp thu kiến thức tăng kể từ người xem. ).

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 

A. Định nghĩa. 

    *Định nghĩa 1 : Giá trị tuyệt đối của một số trong những thực a, được kí hiệu là $\left | a \right |$ , là số đo của khoảng cách kể từ điểm a tới điểm gốc 0 bên trên trục số.

Tuy nhiên, từ Định nghĩa 1 ta ko thể người sử dụng nó nhằm giải toán và lập đi ra những đặc điểm cần thiết của Giá trị tuyệt đối nên tao mang trong mình 1 khái niệm không giống không ngừng mở rộng rộng lớn :

      *Định nghĩa 2 : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A, được kí hiệu là  $\left | A \right |$ được khái niệm qua loa công thức :

$\left | A \right |=\left\{\begin{matrix} A,khiA \geq 0\\ -A,khiA<0 \end{matrix}\right.$

B. Tính hóa học.  

_ Từ khái niệm 2, tao đem những đánh giá : 

+) $\left | A \right |\geq 0$ (với từng biểu thức A)

+) $\left | A \right |\geq A;"="\Leftrightarrow A\geq 0$

          1/ Phương trình chứa chấp vệt giá chỉ trị tuyệt đối

_ Là phương trình đem chứa chấp ẩn nhập vệt giá chỉ trị tuyệt đối.

_ Cách giải :

+) Bỏ vệt Giá trị tuyệt đánh đố bởi những ĐK với biến đổi.

+) Giải phương trình tìm kiếm được sau thời điểm vứt vệt Giá trị tuyệt đối.

+) Nghiệm của phương trình là những nghiệm thỏa ĐK vứt vệt Giá trị tuyệt đối. Kết luận.

*Một số Phương trình chứa chấp vệt giá chỉ trị tuyệt đối đem dạng đặc biệt

1/ Phương trình đem dạng : $\left | f(x) \right |=a;(a>0)$

Cách giải : $\left | f(x) \right |=a;(a>0) \Leftrightarrow f(x)=a$ hoặc $f(x)=-a$

2/ Phương trình đem dạng : $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |$

Cách giải :  $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right | \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ hoặc $f(x)=-g(x)$

              2/ Bất phương trình chứa chấp vệt giá chỉ trị tuyệt đối

_ Là bất phương trình đem chứa chấp ẩn nhập vệt giá chỉ trị tuyệt đối.

_ Thông thông thường, tao gặp gỡ tía dạng và sau đấy là cơ hội giải :

1/ $\left | f(x) \right |>g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)$ hoặc $f(x)< -g(x)$

2/ $\left | f(x) \right |<\left | g(x) \right |\Leftrightarrow [f(x)]^{2}<[g(x)]^2$ 

3/ $\left | f(x) \right | < g(x)$ $\Leftrightarrow -g(x)< f(x)< g(x)$

C. Bài tập luyện.

*Bài 1 : Giải những phương trình sau ;

1/ $x^{2}-\left | x \right |-6=0$

2/ $\left | x-1 \right |+\left | x-4 \right |=3$

3/ $\left | \left | x-3 \right |-1 \right |=2$

4/ $\left | x^{2}-5x+6 \right |+\left | x^{2}-x-6 \right |=9$  

P/S : Khi người xem đăng bài bác giải hoặc comment thì ghi rõ nét, sáng tỏ. Không spam lên nội dung bài viết của tớ. Mong người xem nhiệt huyết góp sức nội dung bài viết. Mình nài cảm ơn  . Mình tìm kiếm được bên trên mạng 1 links Giá trị tuyệt đối khà hoặc. http://thuviengiaoan...i-o-thcs-25542/

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tquangmh: 14-03-2016 - 19:57

"Cuộc đời không như một cuốn sách,phát âm phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí hiểm và thú vị rất nhiều ..." Kaitou Kid

Xin góp sức một số trong những đặc điểm sau về giá chỉ trị tuyệt đối:

$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right ||$

$\left | a-b \right |\geq \left | a \right |-\left | b \right |$

$\left | \frac{a+b}{2} \right |+\left | \frac{a-b}{2} \right |=\left \{ max\left | a \right |,\left | b \right | \right \}$

"Tôi sinh đi ra là để thay đổi trái đất chứ không hề phải để trái đất thay đổi tôi" - Juliel

Bài 2:

VT=\left | x-1 \right |+\left | 4-x \right |\geq \left | x-1+4-x \right |=3=VP

Dấu bởi xẩy ra khi $1\leq x\leq 4$

"Tôi sinh đi ra là để thay đổi trái đất chứ không hề phải để trái đất thay đổi tôi" - Juliel

*Bài 1 : Giải những phương trình sau ;

1/ $x^{2}-\left | x \right |-6=0$

1,Đặt $|x|=t \geq 0$

PT $\leftrightarrow t^2-t-6=0$

     $\leftrightarrow (t-3)(t+2)=0$

     $\leftrightarrow t=3$ (Vì $t \geq 0$)

     $\leftrightarrow |x|=3$

     $\leftrightarrow x=\pm 3$

2. bài bác này khá dễ dàng violympic còn thông thường ra:$\left | x-1 \right |+\left | x-4 \right |\Leftrightarrow \left | x-1 \right |+\left | 4-x \right |\geqslant \left | 3 \right |$. => PT đem nghiệm  $\leqslant 1\leqslant x\leqslant 4$
3. => VP=2 . Rồi xét ra
4. cứng cáp xét 4 tình huống của x

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi minhhien2001: 14-03-2016 - 09:29

Nếu bản thân lưu giữ k khuyết điểm thì

$\begin{vmatrix} a+b\\ \end{vmatrix}\geq \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |$

Một số pt đơn giản

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi adamfu: 14-03-2016 - 20:09

mình nài được góp sức tăng bài bác này  :

Giải bpt : a) $\left | x-3 \right |>\frac{x+1}{2}$

               b)$\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |> x+3$

 TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Tại SỰ TỰ DO CỦA NÓ.  

---- Georg Cantor ----

mình nài được góp sức tăng bài bác này  :

Giải bpt : a) $\left | x-3 \right |>\frac{x+1}{2}$              

Xét $2TH:$

   $TH_{1}: x\geq 3$

     Khi cơ $BPT$ trở thành: $x-3>\frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 2x-6> x+1\Leftrightarrow x>7$

   $TH_{2}: x<3$

     Khi cơ $BPT$ trở thành: $3-x> \frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 6-2x>x+1\Leftrightarrow x<\frac{5}{3}$

Vậy $x<\frac{5}{3}$ hoặc $x>7$ thì thoả mãn đề bài

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi Element hero Neos: 14-03-2016 - 20:18

Xét $2TH:$

   $TH_{1}: x\geq 3$

     Khi cơ $BPT$ trở thành: $x-3>\frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 2x-6> x+1\Leftrightarrow x>7$

   $TH_{2}: x<3$

     Khi cơ $BPT$ trở thành: $3-x> \frac{x+1}{2}\Leftrightarrow 6-2x>x+1\Leftrightarrow x<\frac{5}{3}$

Vậy $x<\frac{5}{3}$ hoặc $x>7$ thì thoả mãn đề bài

câu b)  cao lắm thì xét 3TH là giải dc

câu b)  cao lắm thì xét 3TH là giải dc

anh giải đi ra dùm em luôn luôn chuồn anh. 

*Bài 3 :

a/ Tìm GTNN của biểu thức sau : $A=\left | x+3 \right |+\left | x-2 \right |+5$

b/ Tìm GTNN của biểu thức sau : $E=\left | 5x+3 \right |+\left | 2x-3 \right |-x-1$

Giải

a/ 

*Cách 1 :

Ta đem : $A=\left | x+3 \right |+\left | 2-x \right |+5$

Áp dụng Bất đẳng thức : $\left | A \right |+\left | B \right |\geq \left | A+B \right |$ , tao đem :

$A\geq \left | x+3+2-x \right |+5=10$

$"="\Leftrightarrow (x+3)(2-x)\geq 0\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

Xem thêm: Cách sử dụng hàm AVERAGE trong Excel [Có Ví Dụ Cụ Thể]

Vậy : $minA=10\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

*Cách 2 :

Ta đem : $A=\left | x+3 \right |+\left | 2-x \right |+5$

Áp dụng Bất đẳng thức : $\left | A \right |\geq A$

$.\left | x+3 \right |\geq x+3$

$.\left | 2-x \right |\geq 2-x$

$\Rightarrow A\geq x+3+2-x+5=10$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+3\geq 0\\ 2-x\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -3\\ x\leq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -3 \leq x \leq 2$

Vậy : $minA=10\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

b/ $E=\left | 5x+3 \right |+\left | 2x-3 \right |-x-1 =5\left | x+\frac{3}{5} \right |+\left | 3-2x \right |-x-1 =2\left | x+\frac{3}{5} \right |+(\left | x+\frac{3}{5} \right |-x)+(2.\left | x+\frac{3}{5} \right |+\left | 3-2x \right |)-1 =2\left | x+\frac{3}{5} \right |+(\left | x+\frac{3}{5} \right |-x)+(\left | 2x+\frac{6}{5} \right |+\left | 3-2x \right |)-1$

Ta đem : 

$.\left | x+\frac{3}{5} \right |\geq 0$

$\left | x+\frac{3}{5} \right |\geq x+\frac{3}{5}\Rightarrow \left | x+\frac{3}{5} \right |-x\geq x+\frac{3}{5}-x=\frac{3}{5}$

$.\left | 2x+\frac{6}{5} \right |+\left | 3-2x \right |\geq \left | 2x+\frac{6}{5}+3-2x \right |=\frac{21}{5}$

Nên : $E\geq 2.0+\frac{3}{5}+\frac{21}{5}-1=\frac{19}{5}$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{3}{5}\geq 0\\(2x+\frac{6}{5})(3-2x)\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$

Vậy : $minE=\frac{19}{5}\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$

---

BÀI MỚI

*Bài 4 : Giải những phương trình hoặc bất phương trình sau :

a/ $\left | x^{2}+2\left | x-\frac{1}{2} \right | \right |=x^{2}+2$

b/ $\left | x^{2}\left | x+\frac{3}{4} \right | \right |=x^{2}$

c/ $\left | x-y+2 \right |+\left | 2y+1 \right |\leq 0$

d/ $2(x-5)^{4}+5\left | 2y-7 \right |^{5}=0$

e/ $\left | x+\frac{1}{2} \right |+\left | x+\frac{1}{6} \right |+\left | x+\frac{1}{12} \right |+...+\left | x+\frac{1}{9900} \right |=100x$

f/ (Biện luận phương trình theo gót thông số m). Phương trình : $\left | x+2 \right |+\left | x-1 \right |=m$

* Bài 5 : Cho : $\left | 2x-1 \right |+\left | x-3 \right |+\left | x+4 \right |-3x+4=0$ . Chứng minh $x\geq 2$

P/S : Phần bài bác giải bài bác 3 mình/em thấy những cơ hội này còn dài quá (nhất là câu 3b!). Mong những anh chị và người xem chỉ cho tới em cách tiếp ngắn ngủi gọn gàng rộng lớn hoặc cho tới em 1 phát minh giải quyết và xử lý nào là cơ không giống với cơ hội bên trên của mình

Hiện bên trên, bản thân đem việc làm nhập ngôi trường nên ko đăng được nội dung lý thuyết phần Bất đẳng thức. Mong người xem cảm thông. 

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tquangmh: 15-03-2016 - 10:01

"Cuộc đời không như một cuốn sách,phát âm phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí hiểm và thú vị rất nhiều ..." Kaitou Kid

Hic hic. Sao ko ai thảo luận không còn nhẵn vậy

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tquangmh: 15-03-2016 - 22:16

"Cuộc đời không như một cuốn sách,phát âm phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí hiểm và thú vị rất nhiều ..." Kaitou Kid

anh giải đi ra dùm em luôn luôn chuồn anh. 

$|x - 1| + |x - 2| > x + 3$. Lập bảng xét GTTĐ, tao được 3 ngôi trường hợp:

TH1: $x < 1$ thì BPT trở thành: $1 - x + 2 - x > x + 3 \Leftrightarrow x < 0$ (thỏa)

TH2: $1 \leqslant x \leqslant 2$ thì BPT trở thành: $x - 1 + 2 - x > x + 3 \Leftrightarrow x < -2$ (vô nghiệm)

TH3: $x > 2$ thì BPT trở thành: $x - 1 + x - 2 > x + 3 \Leftrightarrow x > 6$ (thỏa)

Vậy $S = (-\infty ; 0) \cup (6; +\infty)$

Bài 4.a)

$|x^{2} + 2|x - \frac{1}{2}|| = x^{2} + 2$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2|x - \frac{1}{2}| = x^{2} + 2$ hoặc $x^{2} + 2|x - \frac{1}{2}| = -x^{2} - 2$

$\Leftrightarrow |x - \frac{1}{2}| = 1$ hoặc $|x - \frac{1}{2}| = -(x^{2} + 1)$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 1$ hoặc $x - \frac{1}{2} = -1$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$

Vậy $S = ${$\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}$}

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 21:33

Bài 4.b)

$|x^{2}|x + \frac{3}{4}|| = x^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}|x + \frac{3}{4}| = x^{2}$ hoặc $x^{2}|x + \frac{3}{4}| = -x^{2}$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow x + \frac{3}{4} = 1$ hoặc $x + \frac{3}{4} = -1$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ hoặc $x = -\frac{7}{4}$

Vậy $S = ${$\frac{1}{4}; -\frac{7}{4}$}.

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 21:40

Bài 4.c)

Từ BPT thường thấy $x - hắn + 2 = 0 \Leftrightarrow x - hắn = -2$ và $2y + 1 = 0 \Leftrightarrow hắn = -\frac{1}{2}$. Suy đi ra $x = -\frac{5}{2}$

Vậy $x = -\frac{5}{2}$ và $y = -\frac{1}{2}$.

Câu d) giải tương tự động như câu c).

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 21:45

Bài 4.e)

Dễ thấy vế ngược luôn luôn ko âm nên vế nên cũng luôn luôn ko âm, suy đi ra $x \geqslant 0$. Từ $x \geqslant 0$ suy đi ra BPT rất có thể viết lách thành:

$(x + \frac{1}{2}) + (x + \frac{1}{6}) + (x + \frac{1}{12}) + ... + (x + \frac{1}{9900}) = 100x$

$\Leftrightarrow 99x + (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{9900}) = 100x$

$\Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.

Vậy $S = ${$\frac{99}{100}$}.

Bài 4.f)

$|x + 2| + |x - 1| = m$

Nếu $m \leqslant 0$ thì PTVN.

        $m > 0$ thì đem 3 tình huống xẩy ra (lập bảng GTTĐ):

        + TH1: $-2x - 1 = m \forall x < -2 \Leftrightarrow x < -2$ (vì $-\frac{m + 1}{2} < -\frac{1}{2}$)

        + TH2: $0x + 3 = m \forall -2 \leqslant x \leqslant 1$. Nếu $m = 3$ thì $-2 \leqslant x \leqslant 1$, ngược lại thì PTVN.

        + TH3: $2x + 1 = m \forall x > 1 \Leftrightarrow x > 1$ (vì $\frac{m - 1}{2} > -\frac{1}{2}$)

P/S: Bài biện luận này bản thân ko cứng cáp lắm, nếu như rất có thể thì nhờ chúng ta sửa lại hùn bản thân. Còn bài bác 5 thì giải PT mò mẫm nghiệm rồi suy đi ra đpcm.

P/S 2: Conan giải vì vậy Kid thấy ưng ý ko

Bài viết lách đang được sửa đổi nội dung bởi tcm: 28-04-2017 - 22:16

Nhân tiện, bản thân cũng có thể có một số trong những bài bác, người xem thực hiện demo nhé.

Bài 1: Giải những phương trình sau:

a) $|x + 5| - |1 - 2x| = x$

b) $|x - 2| + |x - 3| + |x - 4| = 2$

c) $4|3x - 1| + |x| - 2|x - 5| + 7|x - 3| = 12$

d) $3|x + 4| - |2x + 1| - 5|x + 3| + |x - 9| = 5$

e) $|x + \frac{1}{5}| + |x + \frac{1}{45}| + |x + \frac{1}{117}| + ... + |x + \frac{1}{159197}| = 101x$

f) $2|x - 3| + |2x + 5| = 11$

g) $|x^{2} - 9| + |x^{2} - 4| = 5$

h) $||4x - 2| - 3| - |x - 5| = 1$

i) $|x^{2} - 2x - 3| = |2x - 5| + 1$

k) $|3 - 2|x|| = |2 - x| - 3$

l) $|2|x - 10| - 5| + |2|x - 10| - 9| = 10$

Bài 2: Giải những bất phương trình sau:

a) $4|x - 1| + 3|x - 2| < 2|x - 3| + |x - 4|$

b) $||2x - 1| - 10| + 4 < 5$

c) $|-x^{2} + 4x - 4| \geqslant |x^{2} - 6x + 9|$