Giá trị riêng biệt, vector riêng biệt của ma mãnh trận sẽ tiến hành reviews tổng quát tháo như sau
Để dò la trị riêng biệt của ma mãnh trận vuông $A$, tao viết $Ax=\lambda x$ thành $Ax=\lambda Ix, (x\in {\mathbb{R}}^n)$ ($I$ là ma mãnh trận đơn vị chức năng cấp cho $n$).
Bạn đang xem: 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận
Ta sở hữu, $(A-\lambda I)x=\theta$ đấy là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Nếu $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$ thì $A-\lambda I=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} -\lambda } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -\lambda } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -\lambda } \end{array}\right]$.
|
Ta sở hữu $(A-\lambda I)x=\theta $ là hệ $$\left\{\begin{array}{cccc} {(a_{11} -\lambda )x_{1} +} & {a_{12} x_{2} +} & {\ldots } & {+a_{1n} x_{n} =0} \\ {a_{21} x_{1} +} & {(a_{22} -\lambda )x_{2} +} & {\ldots } & {+a_{2n} x_{n} =0} \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} x_{1} +} & {a_{n2} x_{2} +} & {\ldots } & {+(a_{nn} -\lambda )x_{n} =0} \end{array}\right..$$ Muốn cho tới $\lambda $ là trị riêng biệt của $A$, ĐK là hệ $(A-\lambda I)x=\theta $ sở hữu nghiệm ko tầm thông thường, ham muốn thế ĐK cần thiết và đầy đủ là $\det (A-\lambda I)=0$ hoặc $\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -\lambda } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -\lambda } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -\lambda } \end{array}\right|=0$ là phương trình nhằm xác lập những độ quý hiếm riêng biệt của $A$, được gọi là phương trình đặc thù của ma mãnh trận vuông $A$. |
|
Ví dụ 2. Hãy dò la vector riêng biệt của ma mãnh trận $A=\left[ \begin{array}{cc}10 & -9 \\4 & -2 \end{array}\right]$.
Hướng dẫn. Trước không còn cần thiết xác lập trị riêng biệt của ma mãnh trận $A$.
Xét phương trình đặc thù của $A$: $\left| \begin{array}{cc}10-\lambda & -9 \\4 & -2-\lambda \end{array}\right|=0$ $$\Leftrightarrow {\lambda }^2-8\lambda +16=0\Leftrightarrow {\left(\lambda -4\right)}^2=0\Leftrightarrow \lambda =4.$$ Vậy, $A$ có một trị riêng biệt (bội 2) $\lambda =4$.
Tiếp bám theo, tao dò la vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda =4$.
Giả sử, $x=\left[\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}
\right]$ là vectơ riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda $ thì $x$ là nghiệm ko tầm thông thường của hệ $$\left\{ \begin{array}{c}
(10-\lambda )x_1-9x_2=0 \\
4x_1+\left(-2-\lambda \right)x_2=0 \end{array}
\right..$$ Với $\lambda =4$ tao sở hữu hệ $\left\{ \begin{array}{c}6x_1-9x_2=0 \\4x_1-6x_2=0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x_1=\frac{3}{2}x_2 \\x_2\in \mathbb{R}\end{array}\right.$
Vậy, vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda =4$ là: $$x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{3}{2}x}_2 \\x_2 \end{array}\right]=t\left[ \begin{array}{c}3 \\2 \end{array}\right],\ \ 0\neq \ t\in \mathbb{R}.$$
Ví dụ 3. Hãy dò la trị riêng biệt và vector riêng biệt của ma mãnh trận $A=\left[ \begin{array}{cc}3 & 5 \\0 & 7 \end{array}\right]$.
Hướng dẫn. Tương tự động Ví dụ 2, trước không còn dò la trị riêng biệt của ma mãnh trận $A$.
Xét phương trình đặc thù của $A$: $$\left| \begin{array}{cc}3-\lambda & 5 \\ 0 & 7-\lambda \end{array}\right|=0 \Leftrightarrow \left(3-\lambda \right)\left(7-\lambda \right)=0\Rightarrow \lambda =3\text{ hoặc }\lambda =7.$$ Vậy $A$ có 2 trị riêng ${\lambda }_1=3;\ {\lambda }_2=7$.
Tiếp bám theo, tao dò la vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda$.
Giả sử, $x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]$ là vector riêng biệt của $A$ ứng với trị riêng biệt $\lambda$ thì $x$ là nghiệm ko tầm thông thường của hệ $$\left\{ \begin{array}{c}
\left(3-\lambda \right)x_1+5x_2=0 \\0x_1+\left(7-\lambda\right)x_2=0 \end{array}\right..$$ Với ${\lambda }_1=3$ tao sở hữu hệ $\left\{ \begin{array}{c}0x_1+5x_2=0 \\0x_1+4x_2=0 \end{array}\right. \Rightarrow \begin{cases}x_1\in\mathbb{R}\\x_2=0 \end{cases}$.
Vậy vector riêng biệt của $A$ ứng với trị riêng biệt ${\lambda}_1=3$ là $$\ x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1 \\0 \end{array}\right]=t\left[ \begin{array}{c}1 \\0 \end{array}\right],\\ 0\neq \ t\in \mathbb{R}.$$
Tương tự động, tao sở hữu vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng $\ {\lambda }_2=7$ là: $$x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{5}{4}x}_2 \\x_2\end{array}\right]=s\left[ \begin{array}{c}5 \\4 \end{array}\right],\ \ 0\neq \ s\in \mathbb{R}.$$