5.1. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận

Giá trị riêng biệt, vector riêng biệt của ma mãnh trận sẽ tiến hành reviews tổng quát tháo như sau

Để dò la trị riêng biệt của ma mãnh trận vuông $A$, tao viết $Ax=\lambda x$ thành $Ax=\lambda Ix, (x\in {\mathbb{R}}^n)$ ($I$ là ma mãnh trận đơn vị chức năng cấp cho $n$).

Bạn đang xem: 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận

Ta sở hữu, $(A-\lambda I)x=\theta$ đấy là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Nếu $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$ thì $A-\lambda I=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} -\lambda } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -\lambda } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -\lambda } \end{array}\right]$.

Ta sở hữu $(A-\lambda I)x=\theta $ là hệ $$\left\{\begin{array}{cccc} {(a_{11} -\lambda )x_{1} +} & {a_{12} x_{2} +} & {\ldots } & {+a_{1n} x_{n} =0} \\ {a_{21} x_{1} +} & {(a_{22} -\lambda )x_{2} +} & {\ldots } & {+a_{2n} x_{n} =0} \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} x_{1} +} & {a_{n2} x_{2} +} & {\ldots } & {+(a_{nn} -\lambda )x_{n} =0} \end{array}\right..$$ Muốn cho tới $\lambda $ là trị riêng biệt của $A$, ĐK là hệ $(A-\lambda I)x=\theta $ sở hữu nghiệm ko tầm thông thường, ham muốn thế ĐK cần thiết và đầy đủ là $\det (A-\lambda I)=0$ hoặc $\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -\lambda } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -\lambda } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -\lambda } \end{array}\right|=0$ là phương trình nhằm xác lập những độ quý hiếm riêng biệt của $A$, được gọi là phương trình đặc thù của ma mãnh trận vuông $A$.

Hướng dẫn dò la độ quý hiếm riêng biệt, vector riêng

Ví dụ 2.  Hãy dò la vector riêng biệt của ma mãnh trận $A=\left[ \begin{array}{cc}10 & -9 \\4 & -2 \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. Trước không còn cần thiết xác lập trị riêng biệt của ma mãnh trận $A$.

Xét phương trình đặc thù của $A$: $\left| \begin{array}{cc}10-\lambda & -9 \\4 & -2-\lambda \end{array}\right|=0$ $$\Leftrightarrow {\lambda }^2-8\lambda +16=0\Leftrightarrow {\left(\lambda -4\right)}^2=0\Leftrightarrow \lambda =4.$$ Vậy, $A$ có một trị riêng biệt (bội 2) $\lambda =4$.

Tiếp bám theo, tao dò la vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda =4$.

Xem thêm:

Giả sử, $x=\left[\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}
\right]$ là vectơ riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda $ thì $x$ là nghiệm ko tầm thông thường của hệ $$\left\{ \begin{array}{c}
(10-\lambda )x_1-9x_2=0 \\
4x_1+\left(-2-\lambda \right)x_2=0 \end{array}
\right..$$ Với $\lambda =4$ tao sở hữu hệ $\left\{ \begin{array}{c}6x_1-9x_2=0 \\4x_1-6x_2=0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x_1=\frac{3}{2}x_2 \\x_2\in \mathbb{R}\end{array}\right.$

Vậy, vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda =4$ là: $$x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{3}{2}x}_2 \\x_2 \end{array}\right]=t\left[ \begin{array}{c}3 \\2 \end{array}\right],\ \ 0\neq \ t\in \mathbb{R}.$$

Ví dụ 3. Hãy dò la trị riêng biệt và vector riêng biệt của ma mãnh trận $A=\left[ \begin{array}{cc}3 & 5 \\0 & 7 \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. Tương tự động Ví dụ 2, trước không còn dò la trị riêng biệt của ma mãnh trận $A$.

Xét phương trình đặc thù của $A$: $$\left| \begin{array}{cc}3-\lambda  & 5 \\ 0 & 7-\lambda \end{array}\right|=0 \Leftrightarrow \left(3-\lambda \right)\left(7-\lambda \right)=0\Rightarrow \lambda =3\text{ hoặc }\lambda =7.$$ Vậy $A$ có 2 trị riêng ${\lambda }_1=3;\ {\lambda }_2=7$.

Tiếp bám theo, tao dò la vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng biệt $\lambda$.

Xem thêm: Điện thoại DĐ Xiaomi Redmi 9A 2Gb/ 32Gb Blue Trả góp 0%

Giả sử,  $x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]$ là vector riêng biệt của $A$ ứng với trị riêng biệt $\lambda$ thì $x$ là nghiệm ko tầm thông thường của hệ $$\left\{ \begin{array}{c}
\left(3-\lambda \right)x_1+5x_2=0 \\0x_1+\left(7-\lambda\right)x_2=0 \end{array}\right..$$ Với ${\lambda }_1=3$ tao sở hữu hệ $\left\{ \begin{array}{c}0x_1+5x_2=0 \\0x_1+4x_2=0 \end{array}\right. \Rightarrow \begin{cases}x_1\in\mathbb{R}\\x_2=0 \end{cases}$. 

Vậy vector riêng biệt của $A$ ứng với trị riêng biệt ${\lambda}_1=3$ là $$\ x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1 \\0 \end{array}\right]=t\left[ \begin{array}{c}1 \\0 \end{array}\right],\\ 0\neq \ t\in \mathbb{R}.$$

Tương tự động, tao sở hữu vector riêng biệt của $A$ ứng trị riêng $\ {\lambda }_2=7$ là: $$x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{5}{4}x}_2 \\x_2\end{array}\right]=s\left[ \begin{array}{c}5 \\4 \end{array}\right],\ \ 0\neq \ s\in \mathbb{R}.$$ 

BÀI VIẾT NỔI BẬT


12 thực phẩm có thể giúp giảm chuột rút cơ bắp

Chuột rút cơ bắp là một triệu chứng khó chịu, có thể xảy ra bất cứ lúc nào. Chuột rút rất có thể xảy ra trong khi bạn đang hoạt động, làm việc, tập luyện cơ bắp. Cơ bắp của bạn đòi hỏi nhiều khoáng chất hơn khi chúng hoạt động, và chuột rút cơ xảy ra khi bạn bị thiếu khoáng chất. Để ngăn ngừa chuột rút bạn cần phải bổ sung đầy đủ các khoáng chất cần thiết bằng các loại thực phẩm giảm chuột rút.

Tại sao ký họa lại quan trọng?

Ký họa sâu hay còn gọi là ký họa thâm diễn. Phương pháp này sẽ tập trung đi sâu và miêu tả đối tượng một cách chi tiết, tỉ mỉ các chi tiết của đối tượng, điểm khác biệt của ký họa thâm diễn với ký họa nghiên cứu đó là giá trị nghệ thuật mà ký họa thâm diễn mang lại cao hơn.