Lấy 2 ví dụ về bđt Holder. câu hỏi 1628826 - hoidap247.com

Đáp án + phân tích và lý giải công việc giải:

Theo bản thân bất đẳng thức Hölder ở cấp cho trung học tập hạ tầng vẫn không được thịnh hành lắm, nên tôi chỉ nêu vài ba định nghĩa giản dị thôi nhé, sở hữu gì sơ sót hy vọng chúng ta bỏ dở.

Bạn đang xem: Lấy 2 ví dụ về bđt Holder. câu hỏi 1628826 - hoidap247.com

Bất đẳng thức Hölder: `\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n a_{i_j})>=(\sum_{j=1}^n\root{m}{\prod_{i=1}^m a_{i_j}})^m`

Hay `(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m`

Với `a_{i_j}>0` nhưng mà `i=\overline{1,m};j=\overline{1,n}`

Ví dụ: 

1/ Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

Theo bất đẳng thức Hölder với `m=2`, có:

`(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})>=(\sqrt{a_{1_1}a_{2_1}}+\sqrt{a_{1_2}a_{2_2}}+...+\sqrt{a_{1_n}a_{2_n}})^2`

Đổi đổi thay `(a_1;a_2)=(x^2;y^2)`

`->(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)>=(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^2`

2/ Chứng minh `a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/(3(x+y+z))`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(1+1+1)(x+y+z)(a^3/x+b^3/y+c^3/z)>=(root{3}{1.x. a^3/x}+root{3}{1.y. b^3/y}+root{3}{1.z. c^3/z})^3`

`->3(x+y+z)(a^3/x+b^3/y+c^3/z)>=(a+b+c)^3`

Xem thêm: Vải TC Là Gì? Phân Loại, Ứng Dụng Đa Dạng Trong Đời Sống

`->a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/(3(x+y+z))`

3/ Chứng minh `(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)>=(root{3}{a^3 .1.1}+root{3}{1.b^3 .1}+root{3}{1.1.c^3})^3`

`->(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3`

4/ Chứng minh `abc+root{3}{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}>=ab+bc+ca` với `a,b,c>0`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(1+a^3)(b^3+1)(1+c^3)>=(root{3}{1.b^3 .1}+root{3}{a^3 .1.c^3})^3`

`->root{3}{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}>=b+ac`

Vậy tớ tiếp tục chứng tỏ `abc+b+ac>=ab+bc+ac`

`->abc+b-ab-bc>=0`

`->b(ac+1-a-c)>=0`

Xem thêm: Lịch vạn niên 2024 - Xem lịch âm, lịch dương, giờ hoàng đạo theo ngày tháng

`->b[a(c-1)-(c-1)]>=0`

`->b(a-1)(c-1)>=0`

Theo vẹn toàn lí Dirichlet, vô phụ thân số `a-1;b-1;c-1` luôn luôn tồn bên trên tối thiểu nhì số nằm trong vệt, fake sử ko tổn thất tính tổng quát mắng, nhì số này là `a-1` và `c-1`, tớ sở hữu điều cần chứng tỏ.