Lấy 2 ví dụ về bđt Holder. câu hỏi 1628826 - hoidap247.com

Đáp án + phân tích và lý giải công việc giải:

Theo bản thân bất đẳng thức Hölder ở cấp cho trung học tập hạ tầng vẫn không được thịnh hành lắm, nên tôi chỉ nêu vài ba định nghĩa giản dị thôi nhé, sở hữu gì sơ sót hy vọng chúng ta bỏ dở.

Bạn đang xem: Lấy 2 ví dụ về bđt Holder. câu hỏi 1628826 - hoidap247.com

Bất đẳng thức Hölder: `\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n a_{i_j})>=(\sum_{j=1}^n\root{m}{\prod_{i=1}^m a_{i_j}})^m`

Hay `(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m`

Với `a_{i_j}>0` nhưng mà `i=\overline{1,m};j=\overline{1,n}`

Ví dụ: 

1/ Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

Theo bất đẳng thức Hölder với `m=2`, có:

`(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})>=(\sqrt{a_{1_1}a_{2_1}}+\sqrt{a_{1_2}a_{2_2}}+...+\sqrt{a_{1_n}a_{2_n}})^2`

Đổi đổi thay `(a_1;a_2)=(x^2;y^2)`

`->(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)>=(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^2`

2/ Chứng minh `a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/(3(x+y+z))`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(1+1+1)(x+y+z)(a^3/x+b^3/y+c^3/z)>=(root{3}{1.x. a^3/x}+root{3}{1.y. b^3/y}+root{3}{1.z. c^3/z})^3`

`->3(x+y+z)(a^3/x+b^3/y+c^3/z)>=(a+b+c)^3`

Xem thêm: Cách nhận biết lưỡi bình thường của trẻ sơ sinh

`->a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/(3(x+y+z))`

3/ Chứng minh `(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)>=(root{3}{a^3 .1.1}+root{3}{1.b^3 .1}+root{3}{1.1.c^3})^3`

`->(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3`

4/ Chứng minh `abc+root{3}{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}>=ab+bc+ca` với `a,b,c>0`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(1+a^3)(b^3+1)(1+c^3)>=(root{3}{1.b^3 .1}+root{3}{a^3 .1.c^3})^3`

`->root{3}{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}>=b+ac`

Vậy tớ tiếp tục chứng tỏ `abc+b+ac>=ab+bc+ac`

`->abc+b-ab-bc>=0`

`->b(ac+1-a-c)>=0`

Xem thêm: Màu xanh dương là gì? Ý nghĩa màu xanh dương trong cuộc sống

`->b[a(c-1)-(c-1)]>=0`

`->b(a-1)(c-1)>=0`

Theo vẹn toàn lí Dirichlet, vô phụ thân số `a-1;b-1;c-1` luôn luôn tồn bên trên tối thiểu nhì số nằm trong vệt, fake sử ko tổn thất tính tổng quát mắng, nhì số này là `a-1` và `c-1`, tớ sở hữu điều cần chứng tỏ.