Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao - VUIHOC

1. Hàm số liên tiếp là gì?

Hàm số nó = f(x) gọi là hàm số liên tiếp bên trên khoảng chừng nếu như hàm số cơ liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong khoảng chừng cơ. Cụ thể rộng lớn, tao sở hữu khái niệm bao quát công cộng như sau:

Bạn đang xem: Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao - VUIHOC

Cho hàm số nó = f(x) xác lập bên trên $K,x_{0}\in K$. Khi cơ, nó = f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x)=f(x_{0})$.

Đồ thị hàm số liên tiếp sở hữu dạng:

2. Hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Cho hàm số nó = f(x) xác lập bên trên (a;b) và $x_{0} \epsilon (a;b)$. Hàm số nó được gọi là hàm số liên tiếp bên trên 1 điều $x_{0}$ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$.

Ngược lại, nếu như hàm số $f(x_{0})$ ko liên tiếp bên trên $x_{0}$ thì Lúc cơ $x_{0}$ gọi là vấn đề con gián đoạn của f(x).

Nâng cao hơn nữa, nếu như tao sở hữu 2 hàm số nó = f(x) và nó = g(x) nằm trong liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$. Khi đó:

• $y=f(x) + g(x) . nó = f(x) - g(x) . y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $g(x_{0}) \neq 0$.

3. Hàm số liên tiếp bên trên một khoảng

Nếu hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên một khoảng chừng (a;b) thì Lúc cơ hàm số f(x) tiếp tục liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong (a;b). Đồ thị hàm liên tiếp bên trên khoảng chừng (a;b) được màn biểu diễn bởi một lối đường nét ngay tắp lự, không biến thành đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng chừng xác lập của bọn chúng.

Ngoài đi ra, nếu như đồ dùng thị hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên khoảng chừng (a; b) và vừa lòng $ \underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a); \underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$ thì đồ dùng thị nó = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b].

4. Hàm số liên tiếp bên trên r

Hàm liên tiếp bên trên R là tình huống đặc trưng của hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng.

Đối với một trong những hàm nhiều thức thì tiếp tục liên tiếp bên trên tập dượt R nhưng mà ko cần thiết chứng tỏ, gồm những: dung lượng giác nó = sinx, nó = cosx, hàm nhiều thức, hàm phân thức sở hữu tập dượt xác lập R, hàm nón.

Tham khảo tức thì tư liệu tổ hợp kiến thức và kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt độc quyền của VUIHOC ngay

5. Một số ấn định lý cơ phiên bản về hàm số liên tục

Để vận dụng giải những bài bác tập dượt tương quan cho tới hàm số liên tiếp, ngoài khái niệm những loại hàm số liên tiếp, học viên cần thiết tóm vững chắc 3 ấn định lý cơ phiên bản sau đây:

Định lý 1: 

• Hàm số nhiều thức là loại hàm số liên tiếp bên trên tập dượt R.

• Hàm số thương của 2 nhiều thức (phân thức hữu tỉ) và những hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng chừng của tập dượt xác lập.

Định lý 2: Cho hàm số nó = f(x) và nó = g(x) là nhị hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$.

Ta có:

• $y=f(x) + g(x) . y=f(x) - g(x),y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $g(x_{0}) \neq 0$.

Định lý 3: Cho hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Tồn bên trên tối thiểu 1 điều c nằm trong đoạn (a;b) vừa lòng f(c) = 0. 

Định lý này thông thường dùng làm chứng tỏ sự tồn bên trên nghiệm của phương trình bên trên khoảng chừng chắc chắn.

Định lý 3 còn tồn tại một dạng khác ví như sau:

Cho hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Phương trình f(x) = 0 sẽ sở hữu tối thiểu 1 nghiệm trong tầm (a;b).

6. Các dạng bài bác tập dượt về hàm số liên tiếp và ví dụ cụ thể

6.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một điểm

Đây là dạng bài bác thông thường gặp gỡ vô chuyên mục hàm số liên tiếp. Để xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điều, tao tổ chức theo dõi công việc sau:

Bước 1: Tính độ quý hiếm $f(x_{0})$

Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

Bước 3: So sánh nhị độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$ với $f(x_{0})$ đang được tính ở bước 1, rồi tóm lại.

• Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x),\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì học viên tóm lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• Nếu giá chỉ trị $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ ko tồn tại  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x) \neq 0$ thì học viên tóm lại hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

Bước 4: Kết luận dựa vào đòi hỏi đề bài bác.

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên x = 1 của hàm số sau đây: 

$\left\{\begin{matrix}
\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x +2} & Lúc \, x \neq 1 \\ 
-3 & Lúc \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên R\{2} sở hữu x = 1 và f(1) = -3

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)=-3$. Suy đi ra hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên $x_{0}=1$

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại đây bên trên điểm x = 1:

Giải:

Hàm số đề bài bác cho tới xác lập bên trên x = 1 và f(1) = 1

Tính số lượng giới hạn trái ngược bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}1=1$

Tính số lượng giới hạn cần bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x) \neq \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)$ nên hàm số con gián đoạn bên trên x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp, chứng tỏ hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt xác định

Đối với dạng bài bác tập dượt này, học viên cần thiết vận dụng kết hợp 2 ấn định lý 1 và 2 nhằm xét tính liên tiếp của hàm số đề bài bác bên trên từng khoảng chừng xác lập của chính nó. Nếu hàm số đang được cho tới xác lập, những em học viên nối tiếp xét tính liên tiếp bên trên những điểm đặc trưng của hàm số cơ.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số tại đây liên tiếp bên trên khoảng chừng (-7;+)

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2} - x + 4, x \geq 2\\ 
\frac{x - 2}{\sqrt{x + 7 - 3}}, -7 < x < 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm a, b sao cho tới hàm số sau liên tục:

$\left\{\begin{matrix}
1, x < 3\\ 
ax + b, 3 \leq x \leq 5\\ 
3, x > 5
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.3. Dạng 3: Tìm ĐK hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Đây là dạng toán “tìm m” đặc biệt thông dụng trong số đề luyện thi đua và những đề đánh giá vô công tác học tập phổ thông. Phương pháp giải dạng toán này bao gồm sở hữu 3 bước:

Bước 1: Tìm điểm xác lập $x_{0}$ của hàm số đề bài bác. Tính độ quý hiếm f(m) với $m = x_{0}$

Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số đề bài bác bên trên $x_{0}$

Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc và chỉ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Các em nằm trong xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số sau liên tiếp bên trên điểm x = 1

Giải:

Ta xét hàm số xác lập bên trên x = 1 và f(x) = -3m . 1 - 1.

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1

$\underset{x\rightarrow 1}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} = \underset{x\rightarrow 1}{lim}  \frac{(x -1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vậy, hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}=1$ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow -3m -1 \Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}$

Kết luận: $m=\frac{-2}{3}$ 

Ví dụ 2:

Giải:

Ta sở hữu $\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -2^{+}}{lim}f(-2) \Leftrightarrow -2a - 1 = -11 \Leftrightarrow a=5$

Vậy độ quý hiếm a cần thiết thám thính là 5.

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô kiến thiết suốt thời gian và ôn tập dượt kiến thức và kỹ năng đạt 9+ ôn thi đua chất lượng nghiệp THPT

6.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt xác định

Đối với những câu hỏi thám thính ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một quãng hoặc một tập dượt xác lập ngẫu nhiên, học viên thực hiện tương tự động dạng 3. Điểm khác lạ có một không hai là ở dạng 3 tao thám thính điểm thực hiện hàm số xác lập, còn với dạng này tao thám thính khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt thực hiện cho tới hàm số xác lập.

Xem thêm: 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận

Xét câu hỏi ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt xác định:

Giải:

Tập xác lập của hàm số là R

Xét tình huống $x \neq 1$, hàm số sở hữu dạng $f(x)=\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x-1}$. f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập dượt xác lập là $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$ chính vì thế f(x) cũng liên tiếp bên trên khoảng chừng $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

Xét tình huống x = 1 thì tao sở hữu f(1) = -3m - 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x-1)(5x - 2)}{x - 1}=3$

Khi cơ, hàm f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0} = 1$ Lúc và chỉ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow 3m - 1=3 \Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}$ 

Kết luận: $m=-\frac{4}{3}$ 

Ví dụ 2: Tìm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên $[0;+\infty)$

$\left\{\begin{matrix}
\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}, & 0 < x < 9\\ 
 m,& x=0\\ 
 \frac{1}{18m},&x\geq 9 
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.5. Dạng 5: Ứng dụng tính liên tiếp của hàm số nhằm chứng tỏ phương trình sở hữu nghiệm 

Ta nằm trong xét những ví dụ tại đây nhằm hiểu về phong thái phần mềm tính liên tiếp của hàm số chứng tỏ phương trình sở hữu nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $3x^{3} + 2x - 2 = 0$ sở hữu nghiệm vô (0; 1).

Giải:

Hàm số đề bài bác là hàm nhiều thức, cho nên vì vậy f(x) liên tiếp bên trên R. Suy đi ra, f(x) cũng liên tiếp bên trên đoạn [0;1].

Ta có:

f(0) . f(1) = (-2) . (3) = -6 < 0

Do vậy, sở hữu tối thiểu 1 số ít c vô (0; 1) sao cho tới f(c) = 0. Hay thưa cách thứ hai, phương trình f(x) = 0 sở hữu tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (0; 1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình $2x^{3} - 6x^{2} + 5 = 0$ trong tầm (-1;3) sở hữu 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên R, vì thế f(x) liên tiếp bên trên những đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) . f(0) < 0

f(0) . f(2) < 0

f(2) . f(3) < 0

Vì vậy, phương trình đề bài bác sở hữu nghiệm trong số khoảng chừng (-1;0),(0;2) và (2;3).

Từ cơ tao rất có thể tóm lại phương trình sở hữu 3 nghiệm phân biệt trong tầm (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử dụng tính liên tiếp nhằm xét lốt hàm số

Khi xét lốt hàm số sở hữu vận dụng tính liên tiếp của hàm số, học viên cần dùng kết quả: “Nếu hàm số nó = f(x) là hàm liên tiếp và ko triệt chi phí bên trên [a;b] thì Lúc cơ sở hữu lốt chắc chắn bên trên (a;b)”

Xét những ví dụ sau:

Ví dụ: Xét lốt của hàm số sau: $f(x)= \sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}$

Giải:

7. Một số bài bác tập dượt về hàm số liên tiếp kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên và cách thức giải

Để thành thục những dạng bài bác tập dượt hàm số liên tiếp, những em học viên nằm trong vuihoc giải những bài bác tập dượt rèn luyện sau đây!

Bài 1: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên điểm x = 0

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên x = 0 và f(0) = 2

Xét số lượng giới hạn trái ngược bên trên điểm x = 0:

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x + \frac{1}{4})=\frac{1}{4}$

Xét số lượng giới hạn cần bên trên x=0:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \frac{\sqrt{x + 4}-2}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x + 4}-2}{(\sqrt{x+4})^{2}-4}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}=$

Xét thấy, $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$ nhưng lại không giống f(0). Do cơ, hàm số ko liên tiếp bên trên x=0

Bài 2: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

Giải:

Trường hợp ý x < 0: f(x) = 2x - một là hàm số liên tục

Trường hợp ý x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tục

Từ cơ suy đi ra, tao chỉ xét tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là rất có thể tóm lại tính liên tiếp của hàm số đề bài bác.

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x - 1)= -1$

Xét thấy $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=f(0) \neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$. Do cơ, hàm số con gián đoạn bên trên điểm x = 0.

Kết luận: hàm số ko liên tiếp bên trên tập dượt xác lập.

Bài 3: Chứng minh phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ luôn luôn tồn bên trên nghiệm vô $[0; \frac{1}{3}]$ với từng $a \neq 0$ và vừa lòng ĐK 2a + 6b + 19c = 0

Giải:

Bài 4: Tìm độ quý hiếm a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên x = 2

Giải:

Bài 5: Hàm số f(x) tại đây liên tiếp bên trên R Lúc nào?

$y = f(x) = \left\{\begin{matrix}
2x + 3 & Lúc \, x\geq 1\\ 
m + 2 & Lúc \, x < 1 
\end{matrix}\right.$

Giải:

Dễ thấy hàm số đang được cho tới liên tiếp với từng x không giống 1

Vì vậy nhằm hàm số liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$ thì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim} f(x) =  f(1) \Leftrightarrow 5 = m + 2 \Leftrightarrow m=3$

Vậy với m = 3 thì hàm số đang được cho tới liên tiếp trên $\mathbb{R}$

Bài ghi chép bên trên phía trên đang được tổ hợp toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài bác tập dượt cơ phiên bản của hàm số liên tục trong công tác toán lớp 11. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục nắm rõ khái niệm và những ấn định lý nhằm vận dụng thực hiện bài bác tập dượt. Để học tập tăng nhiều kiến thức và kỹ năng Toán trung học phổ thông có lợi, những em hãy nhờ rằng truy vấn Vuihoc.vn hoặc contact trung tâm tương hỗ nhằm hé đi ra cánh cổng trí thức đoạt được kỳ thi đua trung học phổ thông Quốc gia tới đây nhé!

Bài ghi chép rất có thể xem thêm thêm:

Xem thêm: Top 50+ Khung Powerpoint Đẹp Nhất

Giới hạn của sản phẩm số

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa và ý nghĩa sâu sắc của đạo hàm